In diesem Kapitel verwenden wir das bisher Gesehene, um einige S{\"a}tze aus der ebenen Geometrie zu beweisen. Wir beginnen
mit dem Parallelogramm aus dem vorherigen Kapitel.

\begin{section}{Beispiel Parallelogramm}
Beweisen wir nun den geometrischen Satz \ref{Satz Parallelogramm}. Als Werkzeug nutzen wir die GeoBeweiser-Bibliothek
und \ma.

Zun{\"a}chst laden wir die GeoBeweiser-Bibliothek und initialisieren sie. Danach l{\"o}schen wir alle Variablen und definieren
unsere abh{\"a}ngigen ($x_i$) und unabh{\"a}ngigen ($u_i$) Variablen, als \texttt{vars} und \texttt{parameters}.
\NewSession
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{Needs}[\dq GeoBeweiser`\dq]  \\
\Mfunction{Clear}[\Mvariable{u1},\Mvariable{u2},\Mvariable{u3},\Mvariable{x1},\Mvariable{x2},\Mvariable{x3},\Mvariable{x4}];
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{ \MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{vars}=\{\Mvariable{x1},\multsp \Mvariable{x2},\multsp \Mvariable{x3},\multsp \Mvariable{x4}\};  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}  \\
\Mvariable{parameters}=\{\Mvariable{u1},\multsp \Mvariable{u2},\multsp \Mvariable{u3}\}; \MathEnd{MathArray} }

Als n{\"a}chstes definieren wir die Punkte in \ma\ wie in Abbildung \ref{Abb. Beispiel
Parallelogramm}.

\dispTFinmath{ \MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{Unprotect}[C,D,N];  \\
A=\Muserfunction{point}[0,0];\\
B=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u1},0];  \\
C=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}];\\
D=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x1},\Mvariable{x2}];  \\
N=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x3},\Mvariable{x4}]; \MathEnd{MathArray} }

Jetzt bauen wir die Voraussetzungen unseres Satzes auf:
\begin{enumerate}
\item Die Geraden $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind parallel.
\item Die Geraden $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ sind parallel.
\item $N$ liegt auf den Geraden $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$.
\end{enumerate}

Die ersten beiden Voraussetzungen bestimmen, dass wir ein Parallelogramm erhalten, die n{\"a}chste legt $N$ als Schnittpunkt der beiden Diagonalen fest.

\dispTFinmath{
\Mvariable{d1}=\Muserfunction{isparallel}[\Muserfunction{ppline}[A,B],\Muserfunction{ppline}[C,D]]
}

\dispTFoutmath{
\Mvariable{u3}-\Mvariable{x2}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{d2}=\Muserfunction{isparallel}[\Muserfunction{ppline}[A,C],\Muserfunction{ppline}[B,D]]
}

\dispTFoutmath{
\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{d3}=\Muserfunction{iscollinear}[N,A,D]
}

\dispTFoutmath{
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}-\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{d4}=\Muserfunction{iscollinear}[N,B,C]
}

\dispTFoutmath{
\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x4}
}

Fassen wir diese Polynome jetzt unter \texttt{polys} zusammen.
\dispTFinmath{
\Mvariable{polys}=\{\Mvariable{d1},\Mvariable{d2},\Mvariable{d3},\Mvariable{d4}\}
}

\dispTFoutmath{
\{\Mvariable{u3}-\Mvariable{x2},\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2},\Mvariable{x1}\multsp
\Mvariable{x4}-\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3},\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{x4}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x4}\}
}

Die so gewonnen Polynome spannen eine zum Parallelogramm passende Variet{\"a}t auf.
Um unseren Satz zu beweisen, fehlen uns nur noch die Folgerungen, hier \texttt{con1} und \texttt{con2} genannt:

\dispTFinmath{
\Mvariable{con1}=\Muserfunction{sqrdist}[A,N]-\Muserfunction{sqrdist}[D,N]
}

\dispTFoutmath{
-{{\Mvariable{x1}}^2}+2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x1}-{{\Mvariable{x2}}^2}+2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{con2}=\Muserfunction{sqrdist}[B,N]-\Muserfunction{sqrdist}[C,N]
}

\dispTFoutmath{
{{\Mvariable{u1}}^2}-2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x3}+2\multsp
\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}.
}
Jetzt testen wir, ob \texttt{con1} und \texttt{con2} in dem Radikalideal von \texttt{polys} enthalten sind. Dazu verwenden wir den Ideal-Membership-Test,
d.h. wir bestimmen die \gb\ von $polys,1-y\cdot con1$ bzw. $polys,1-y\cdot con2$ {\"u}ber $\rmenge(u_1,\ldots,u_m)[\overline{x}]$.
\dispTFinmath{
\Mvariable{zw1}=\Mfunction{Union}[\Mvariable{polys},\{1-y\multsp \Mvariable{con1}\}]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{\Mvariable{u3}-\Mvariable{x2},\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2},\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u3}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x4},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}-\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3},1-(-{{\Mvariable{x1}}^2}+2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x1}-{{\Mvariable{x2}}^2}+2\multsp
\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4})\multsp y\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{zw2}=\Mfunction{Union}[\Mvariable{polys},\{1-y\multsp \Mvariable{con2}\}]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{\Mvariable{u3}-\Mvariable{x2},\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2},\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u3}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x4},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}-\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3},1-({{\Mvariable{u1}}^2}-2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x3}+2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4})\multsp y\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

und bestimmen die \gbn
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{GroebnerBasis}[\Mvariable{zw1},\Mvariable{vars},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{CoefficientDomain}\rightarrow \Mvariable{RationalFunctions}]//\Mfunction{Timing}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\{0.\multsp \Mvariable{Second},\{1\}\}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{GroebnerBasis}[\Mvariable{zw2},\Mvariable{vars},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{CoefficientDomain}\rightarrow \Mvariable{RationalFunctions}]//\Mfunction{Timing}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\{0.\multsp \Mvariable{Second},\{1\}\}
}

Jetzt haben wir unseren Satz mit \ma\ bewiesen, da die \gb\ $\{1\}$ ist.
Als n{\"a}chstes folgt ein weitaus komplizierteres Beispiel: Der \anf{Satz von Morley}.
\end{section}

\begin{section}{Morleydreieck}
\begin{definition}[Morleydreieck]\label{Morleydreieck}
Auf die Seiten eines Dreiecks $\Delta ABC$ werden nach innen sich nicht {\"u}berlappende Dreiecke $\Delta ABD$, $\Delta BCE$ und $\Delta CAF$ so aufgesetzt,
dass die Winkel des Dreiecks $\Delta ABC$ in drei gleiche Teile geteilt werden. Das aus den Spitzen der aufgesetzten Dreiecke gebildete Dreieck $\Delta DEF$
hei{\ss}t erstes Morleydreieck des Dreiecks $\Delta ABC$ (nach Frank Morley 1860-1937)\cite[Seite 24]{Coxeter}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/spiegel10.mpo}
\caption{Morleydreieck}
\end{figure}


\begin{satz}[Satz von Morley]\label{Satz von Morley}
Das erste Morleydreieck eines Dreiecks ist gleichseitig.
\end{satz}

Zum Beweis dieses Satzes f{\"u}hren wir einen erweiterten Satz von Morley ein. Diesen Satz beweisen wir mittels automatischen Beweisens.
Wir zeigen abschlie{\ss}end, dass der Satz von Morley ein Spezialfall des erweiterten Satzes von Morley ist.
Beginnen wir, zum besseren Verst{\"a}ndnis, mit der Konstruktion f{\"u}r den erweiterten Satz von Morley, die uns das zweiten Morleydreiecks liefert.

Als Grundlage dient uns das Dreieck $\Delta ABD$.

%Davon ausgehend konstruieren wir das Dreieck $\Delta ABC$.
% mit dem zweiten Morleydreieck, ohne dass wir die Winkeldreiteilung benutzen.
%Wir ben{\"o}tigen nur Winkelverdopplung und Winkeladdition.
%Konstruktion des zweiten Morleydreiecks:
%Ich beginne mit dem Dreieck $ABD$, ausgehend von diesem Dreieck konstruieren wir das Dreieck $\Delta ABC$, dabei ben{\"o}tigen wir keine Winkeldreiteilungen,
%sondern nur Winkelverdopplung und Winkeladdition.\\

%Es folgt die Konstruktion in Einzelschritten:
% 9.5cm Grafikh{\"o}he
\begin{enumerate}
\item Erzeuge $B_{\overline{AD}}$ durch Spiegelung von $B$ an der Geraden $\overline{AD}$.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel01.mpo}
\item Erzeuge $D_{A}$ durch Spiegelung von $D$ an der Geraden $\overline{AB_{\overline{AD}}}$. Damit ist der Winkel verdreifacht und die Gerade $\overline{AD_A}$ ist eine Au{\ss}enseite des Dreiecks $\Delta ABC$.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel02.mpo}\pagebreak
\item Wir wenden uns der anderen Au{\ss}enseite zu: Erzeuge $A_{\overline{BD}}$ durch Spiegelung von $A$ an der Geraden $\overline{BD}$.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel04.mpo}
\item Erzeuge $D_B$ durch Spiegelung von $D$ an der Geraden $\overline{BA_{\overline{BD}}}$.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel05.mpo}\pagebreak
\item Der Punkt $C$ ist der Schnittpunkt von $\overline{AD_A}$ und $\overline{BD_B}$.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel06.mpo}
\item Bestimmen wir nun die Drittelung des Winkel $\gamma$. Jeder kennt die Formel $\gamma=180°-(\alpha+\beta)$.
Umgeschrieben auf Drittelwinkel ergibt sich die Formel $\frac{\gamma}{3}=60°-(\frac{\alpha}{3}+\frac{\beta}{3})$.
Mit dieser Formel und dem Tangensadditionstheorem k{\"o}nnen wir den Tangens von $\frac{\gamma}{3}$ bestimmen.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel07.mpo}\pagebreak
\item Wir erzeugen eine Gerade $t$ durch den Punkt $C$ im Winkel $\frac{\gamma}{3}$ zu der Geraden $\overline{AC}$; diese Gerade geht durch den Punkt $F$.
Des Weiteren geht die Gerade $\overline{AB_{\overline{AD}}}$ durch diesen Punkt. Damit ist $F$ bestimmt, da die Geraden nicht parallel sind.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel08.mpo}
\item Jetzt spiegeln wir $A$ an der Geraden $\overline{CF}$ und erzeugen den Punkt $A_{t}$.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel09.mpo}\pagebreak
\item $E$ ist der Schnittpunkt der Geraden $\overline{BA_{\overline{BD}}}$ und $\overline{CA_t}$.\\
\includegraphics[height=9.5cm]{Bilder/spiegel10.mpo}
\end{enumerate}

\begin{bemerkung}
Der einzige Schritt dieser Konstruktion der nicht ohne weiteres mit Zirkel und Lineal durchgef{\"u}hrt werden kann ist Schritt (vi).
\end{bemerkung}
\begin{definition}
Das Dreieck $\Delta DEF$ aus der Konstruktion sei das zweite Morleydreieck zu $\Delta ABC$, erzeugt aus dem Dreieck $\Delta ABD$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Das erste und zweite Morleydreieck stimmen {\"u}berein, solange das Dreieck $\Delta ABD$ durch Konstruktion des ersten Morleydreiecks entstehen kann.%die Winkelsumme $\alpha+\beta$ im Dreieck $\Delta ABD$ kleiner als $\frac{\pi}{6}$ sind.
\end{bemerkung}

\begin{satz}[Erweiterter Satz von Morley]\label{Erweiterter Satz von Morley}
Das zweite Morleydreieck eines Dreiecks ist gleichseitig.
\end{satz}

\begin{proof}\nlvm
Jetzt gilt es zu zeigen, dass das Dreieck $\Delta DEF$ gleichseitig ist.

Dazu {\"u}berf{\"u}hren wir die Konstruktion in \ma.

Wir verfahren nach dem selben Prinzip wie oben:
\begin{enumerate}
\item Als erstes laden wir GeoBeweiser
\NewSession
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{Needs}[\dq GeoBeweiser`\dq]  \\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{vars}:=\{\Mvariable{x1},\Mvariable{x2},\Mvariable{x3},\Mvariable{x4},\Mvariable{x5},\Mvariable{x6},y\};  \\
\Mvariable{parameters}:=\{\Mvariable{u1},\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}\};.
\MathEnd{MathArray}
}

\item Dann definieren wir die Punkte in unserem Dreieck. Zur Erinnerung: Die $u_i$ sind unabh{\"a}ngige und die $x_i$ abh{\"a}ngige Variablen.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{Unprotect}[C,D,E];  \\
A=\Muserfunction{point}[0,0];\\
B=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u1},0];  \\
C=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x5},\Mvariable{x6}];  \\
D=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}];\\
E=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x1},\Mvariable{x2}];  \\
F=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x3},\Mvariable{x4}];
\MathEnd{MathArray}
}

\item Wir spiegeln den Punkt $B$ an der Geraden $\overline{AD}$ und nennen ihn $Bad$ ($B$ gespiegelt an der Geraden $\overline{AD}$); dazu verwenden wir die Funktion \texttt[sympoint](Spiegelungspunkt).
In der n{\"a}chsten Zeile spiegeln wir den Punkt $D$ an der Geraden $\overline{ABad}$ und erhalten $Da$; er liegt auf der Geraden $\overline{AC}$.

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Verdreifachung}\multsp \Mvariable{des}\multsp \Mvariable{Winkels}\multsp \Mvariable{wBAD}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{Bad}=\Muserfunction{sympoint}[B,\Muserfunction{ppline}[A,D]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}{{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}},\frac{2\multsp
\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}}{{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{Da}=\Muserfunction{sympoint}[D,\Muserfunction{ppline}[A,\Mvariable{Bad}]]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{{{\Mvariable{u2}}^3}-3\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}{{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}},\frac{3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u3}}^3}}{{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}
}

\item Dasselbe geschieht jetzt auf der anderen Seite des Dreiecks; wir spiegeln $A$ an der Geraden $\overline{BD}$ und so weiter, bis wir $Db$ erhalten.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Verdreifachung}\multsp \Mvariable{des}\multsp \Mvariable{Winkels}\multsp \Mvariable{wABD}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{Abd}=\Muserfunction{sympoint}[A,\Muserfunction{ppline}[B,D]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}{{{\Mvariable{u1}}^2}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}},\frac{2\multsp
\Mvariable{u1}\multsp (\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2})\multsp \Mvariable{u3}}{{{\Mvariable{u1}}^2}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{Db}=\Muserfunction{sympoint}[D,\Muserfunction{ppline}[B,\Mvariable{Abd}]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Big\{\frac{{{\Mvariable{u2}}^3}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u2}-3\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{u2}+4\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}{{{\Mvariable{u1}}^2}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}},
 \\
\noalign{\vspace{1.42188ex}}
\hspace{1.em} \frac{-{{\Mvariable{u3}}^3}+3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-6\multsp
\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}}{{{\Mvariable{u1}}^2}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\item Wir haben zwei Geraden, $\overline{ADa}$ und $\overline{BDb}$, die durch den Punkt $C$ gehen. Damit ist $C$ der Schnittpunkt dieser Geraden.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Bestimme}\multsp C*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{gleichungc}=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[A,\Mvariable{Da}],  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Muserfunction{ppline}[B,\Mvariable{Db}]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Big\{\frac{(3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-6\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2})\multsp
({{\Mvariable{u2}}^3}-3\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2})}{3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+3\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+6\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{u2}+3\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}},  \\
\noalign{\vspace{1.42188ex}}
\hspace{1.em} \frac{\Mvariable{u3}\multsp (3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2})\multsp (3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-6\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u1}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2})}{3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+3\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+6\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{u2}+3\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{gleichungc}[[1]]-\Mfunction{C}[[1]]]  \\
\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{gleichungc}[[2]]-\Mfunction{C}[[2]]]
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\frac{(3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-6\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2})\multsp ({{\Mvariable{u2}}^3}-3\multsp
\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2})}{3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}+6\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+3\multsp
{{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}-\Mvariable{x5}
}

\dispTFoutmath{
\frac{\Mvariable{u3}\multsp (3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2})\multsp (3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-6\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u1}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2})}{3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+3\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+6\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{u2}+3\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}-\Mvariable{x6}
}

\item In dieser Zelle bestimmen wir $\frac{\gamma}{3}$, indem wir $60°-(\frac{\alpha}{3}+\frac{\beta}{3})$ berechnen. In Geradenwinkeln entspricht $60°$ dem $\tan(\frac{\pi}{3})$.
Als kurze Erkl{\"a}rung zu den Namen der Winkel sei gesagt: $wA3$ steht f{\"u}r $\frac{\alpha}{3}$, wobei das $w$ Winkel bedeutet, $A$ den Ort angibt und die $3$ am Ende f{\"u}r ein Winkeldrittel steht.
So erhalten wir eine Gleichung $dreineu$, die den Zusammenhang zwischen den Winkeln beschreibt.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Bestimmung}\multsp \Mvariable{der}\multsp \Mvariable{Geradenwinkel}\multsp (\Mvariable{Drittelwinkel})*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{V3}=\tan [\pi /3]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
{\sqrt{3}}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{wA3}=\Muserfunction{p3angle}[D,A,B]
}

\dispTFoutmath{
\frac{\Mvariable{u3}}{\Mvariable{u2}}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{wB3}=\Muserfunction{p3angle}[A,B,D]
}

\dispTFoutmath{
\frac{\Mvariable{u3}}{\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2}}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{wC3}=\Muserfunction{p3angle}[F,C,A]
}

\dispTFoutmath{
\frac{\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}}{{{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{x6}}^2}-\Mvariable{x4}\multsp
\Mvariable{x6}}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{dreineu}=\Muserfunction{anglesum}[\Mvariable{V3},-\Muserfunction{anglesum}[\Mvariable{wA3},\Mvariable{wB3}]]-\Mvariable{wC3}
}

\dispTFoutmath{
\frac{-{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u3}}{-{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}}-\frac{\Mvariable{x3}\multsp
\Mvariable{x6}-\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}}{{{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{x6}}^2}-\Mvariable{x4}\multsp
\Mvariable{x6}}
}
Man beachte, dass wir nun nicht mehr {\"u}ber dem K{\"o}rper $\qmenge$ arbeiten, sondern {\"u}ber $\qmenge(\sqrt{3})$.

\item Jetzt benutzen wir die Gleichung $dreineu$ und die Gerade $\overline{ABad}$ zur Bestimmung von $F$. Damit fehlt uns nur noch der Punkt $E$ zur Konstruktion des Morleydreiecks.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Bestimme}\multsp F*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Mvariable{dreineu}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\frac{-{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u3}}{-{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}}-\frac{\Mvariable{x3}\multsp
\Mvariable{x6}-\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}}{{{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{x6}}^2}-\Mvariable{x4}\multsp
\Mvariable{x6}}
}

\dispTFinmath{
\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{online}[F,\Muserfunction{ppline}[A,\Mvariable{Bad}]]]
}

\dispTFoutmath{
-\Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x4}
}

\item Zur Bestimmung von $E$ konstruieren wir einen Hilfspunkt $Acf$, d.h. $A$ wird an der Geraden $\overline{CF}$ gespiegelt. Damit geht die Gerade $\overline{CAcf}$ durch den Punkt $E$.
Wir haben, durch die Spiegelung, wieder den Winkel verdoppelt. Des Weiteren liegt $E$ auf der Geraden $\overline{BAbd}$.
\dispTFinmath{
\Mvariable{Acf}=\Muserfunction{sympoint}[A,\Muserfunction{ppline}[C,F]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Big\{\frac{2\multsp (\Mvariable{x4}-\Mvariable{x6})\multsp (\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6})}{{{\Mvariable{x3}}^2}-2\multsp
\Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x3}+{{\Mvariable{x4}}^2}+{{\Mvariable{x5}}^2}+{{\Mvariable{x6}}^2}-2\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}},
 \\
\noalign{\vspace{1.21875ex}}
\hspace{1.em} \frac{2\multsp (\Mvariable{x3}-\Mvariable{x5})\multsp (\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5})}{{{\Mvariable{x3}}^2}-2\multsp
\Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x3}+{{\Mvariable{x4}}^2}+{{\Mvariable{x5}}^2}+{{\Mvariable{x6}}^2}-2\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}}\Big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Bestimme}\multsp E*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{online}[E,\Muserfunction{ppline}[C,\Mvariable{Acf}]]]  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{online}[E,\Muserfunction{ppline}[B,\Mvariable{Abd}]]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^3}-2\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^3}-2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp
{{\Mvariable{x5}}^2}+2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp
{{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} 2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{x2}\multsp
{{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-2\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp
\Mvariable{x5}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} 2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}-2\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp
\Mvariable{x5}+2\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x6}}^3}+2\multsp \Mvariable{x3}\multsp
{{\Mvariable{x6}}^3}-2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} 2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}-2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+\Mvariable{x1}\multsp
{{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}+2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp
\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{u1}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} 2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{u1}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{u1}-2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x1}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\item Jetzt lassen wir die Nenner der Polynome wegfallen und schreiben den Rest in eine Liste.
\dispTFinmath{
\Mvariable{polys}=\Mfunction{Map}[\Mfunction{Numerator}[\Mfunction{Together}[\#]]\multsp \&,\multsp \Mvariable{Gleichungen}]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}[p]{l}
\big\{3\multsp {{\Mvariable{u2}}^5}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-3\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}+3\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}-10\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+  \\
\noalign{\vspace{0.726563ex}}
\hspace{2.em} 6\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+18\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-6\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 3\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{u2}-9\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+6\multsp
\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u2}-3\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x5},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u3}}^5}-3\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}-6\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
\Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 6\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+9\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{u3}-18\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp
\Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 9\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{x6}+6\multsp
\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x6}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x6},
 \\
\noalign{\vspace{0.6875ex}}
\hspace{1.em} -{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{\sqrt{3}}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{x3}\multsp
\Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.6875ex}}
\hspace{2.em} {\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp
\Mvariable{u2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp
\Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u2}+  \\
\noalign{\vspace{0.6875ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp
\Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
{{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.6875ex}}
\hspace{2.em} {\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+{\sqrt{3}}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}+  \\
\noalign{\vspace{0.6875ex}}
\hspace{2.em} {\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp
\Mvariable{x6}-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}+{\sqrt{3}}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6},  \\
\noalign{\vspace{0.726563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{x4},\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^3}-2\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^3}-2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp
{{\Mvariable{x5}}^2}+2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 2\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+2\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{x2}\multsp
{{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 2\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp
\Mvariable{x5}-2\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{x5}+2\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp
\Mvariable{x5}-\Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x6}}^3}+2\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}-2\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+\Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{x1}\multsp
{{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}+2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -2\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.726563ex}}
\hspace{2.em} 2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{u1}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x1}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{x2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\item Unsere Konstruktion ist beendet und wir formulieren die Bedingungen f{\"u}r die Gleichseitigkeit des Dreiecks:
\begin{equation*}
\abs{\overline{DE}}=\abs{\overline{EF}}\text{ und }\abs{\overline{DE}}=\abs{\overline{DF}}.
\end{equation*}
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{conclusion}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{con1}=\Muserfunction{sqrdist}[D,E]-\Muserfunction{sqrdist}[E,F]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
{{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}-{{\Mvariable{x3}}^2}-{{\Mvariable{x4}}^2}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x2}+2\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}+2\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{con2}=\Muserfunction{sqrdist}[D,E]-\Muserfunction{sqrdist}[D,F]
}

\dispTFoutmath{
{{\Mvariable{x1}}^2}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}+{{\Mvariable{x2}}^2}-{{\Mvariable{x3}}^2}-{{\Mvariable{x4}}^2}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x2}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x3}+2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}
}

\item Jetzt k{\"o}nnen wir mit unserer Methode \texttt{IdealMember} pr{\"u}fen, ob der geometrische Satz wahr ist, d.h. dass die Folgerung des Satzes im Radikalideal von $polys$, unseren Voraussetzungen, enthalten ist.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con1},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}],  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con2},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]\}//\Mfunction{Timing}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\{80.105\multsp \Mvariable{Second},\{\Mvariable{True},\Mvariable{True}\}\}
}

Damit gilt $con1,con2\in\langle polys\rangle$, und der Erweiterte Satz von Morley ist bewiesen.
\end{enumerate}
\end{proof}

Mithilfe dieses Satzes beweisen wir jetzt den ersten Satz von Morley (Satz \ref{Satz von Morley}).

\begin{satz}
Es sei $\Delta ABC$ ein Dreieck mit erstem Morleydreieck $\Delta DEF$. Konstruieren wir das zweite Morleydreieck $\Delta D'E'F'$ aus dem Dreieck $\Delta ABD$,
dann sind die beiden Morleydreiecke gleich.
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Zeigen wir als erstes das der Punkt $C'$ aus der Konstruktion gleich dem Punkt $C$ ist.

Seien $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die Winkel im Dreieck $\Delta ABC$, dann sind die Winkel im Dreieck $\Delta ABD$: $\frac{\alpha}{3}$, $\frac{\beta}{3}$ und $180°-(\frac{\alpha}{3}+\frac{\beta}{3})$.
Durch die Konstruktion wird in Schritt (i)-(iii) der Winkel $\frac{\alpha}{3}$ verdreifacht. In den n{\"a}chsten zwei Schritten wird der Winkel $\frac{\beta}{3}$ verdreifacht.
Damit haben wir zwei gleiche Winkel und eine gleich lange Strecke, daraus folgt das die Dreiecke $\Delta ABC$ und $\Delta ABC'$ kongruent sind.

%Durch die Konstruktion wird in Schritt (i)-(iii) der Winkel $\alpha$ verdreifacht, und in Schritt (iv)-(v) der Winkel $\beta$. Der Schnittpunkt der Geraden, die dabei entstehen, sei $C'$.
%In den Dreiecken $\Delta ABC$ und $\Delta ABC'$ sind eine Strecke und die daran anliegenden Winkel gleich, daher sind die Dreiecke kongruent $\Longrightarrow$ $C=C'$.
Nun bleibt nur noch zu zeigen, dass hier das zweite Morleydreieck dem ersten Morleydreieck entspricht:
\begin{itemize}
\item $D=D'$ ist vorgegeben.
\item $F'$ hat die Eigenschaft:
      \begin{itemize}
      \item $\angle[\overline{CA},\overline{CF'}]=\frac{\gamma}{3}$ (nach Konstruktion Schritt (vii))
      \item $\angle[\overline{AF'},\overline{AC}]=\frac{\alpha}{3}$ (nach Schritt (i)-(iii) Verdreifachung von $\frac{\alpha}{3}$)\\
      $F=F'$ gilt, da $F$ genau mit diesen Eigenschaften konstruiert wurde.
      \end{itemize}
\item $E'$ hat die Eigenschaft:
      \begin{itemize}
      \item $\angle[\overline{CB},\overline{CE'}]=\frac{\gamma}{3}$ (nach Konstruktion Schritt (ix))
      \item $\angle[\overline{BE'},\overline{BC}]=\frac{\beta}{3}$ (nach Schritt (iv)-(v) Verdreifachung von $\frac{\beta}{3}$)\\
      $E=E'$ analog zu $F$.
      \end{itemize}
\end{itemize}
Daher stimmt in diesem Fall das erste mit dem zweiten Morleydreieck {\"u}berein und der Satz von Morley ist bewiesen.
\end{proof}
Das war das komplizierteste Beispiel. Wir konnten die Aussage nicht direkt beweisen, da \ma\ mit der Winkeldrittelung kein Beweis gelungen ist,
d.h. es war mangels Speicher nicht m{\"o}glich, die \gb\ zu berechnen.
Mit einer Hilfskonstruktion und deren automatischem Beweis konnten wir den Satz dann doch noch zeigen.
Der Ansatz zum direkten Beweis findet sich in Anhang \ref{Direkter Beweis Satz von Morley}.
In allen weiteren Beispielen funktioniert unsere automatische Beweismethode direkt.
\end{section}

\begin{section}{Feuerbachkreis und Eulergerade}
In diesem Abschnitt beweisen wir den Satz von Feuerbach, der einen Neunpunktekreis bzgl. eines Dreiecks beschreibt.
\begin{satz}[Feuerbachkreis]
In jedem Dreieck liegen die drei Seitenmitten, die drei H{\"o}henfu{\ss}punkte und die drei Mitten zwischen dem H{\"o}henschnittpunkt H und den Ecken auf einem Kreis.
Der Kreis hei{\ss}t Feuerbachkreis oder auch Neunpunktekreis (nach Karl Wilhelm Feuerbach 1800-1834, Professor der Mathematik am Gymnasium in Erlangen).\cite[Seite 34]{CoxeterUnv}
\end{satz}
Als weiterf{\"u}hrende Anwendung bietet sich die Eulergerade, da in der Konstruktion des Feuerbachkreises bereits fast alle ben{\"o}tigten Punkte enthalten sind.
\begin{satz}[Eulergerade]
Der H{\"o}henschnittpunkt $H$, der Schwerpunkt $S$, der Mittelpunkt des Feuerbachkreises $M_{Feuerbach}$ und der Schnittpunkt $M_{Umkreis}$ der Mittelsenkrechten liegen auf einer Geraden.
Diese Gerade hei{\ss}t Eulergerade (nach Leonhard Euler 1707-1783, dem \anf{produktivsten} Mathematiker aller Zeiten).\cite[Seite 56]{Scheid}
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/feuerbachkreis.mpo}
\caption{Feuerbachkreis und Eulergerade}
\end{figure}
\begin{proof}\nlvm
\NewSession
Wir beginnen mit der Initialisierung der Variablen:
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{vars}:=\{\Mvariable{x1},\Mvariable{x2},\Mvariable{x3},\Mvariable{x4},\Mvariable{x5},\Mvariable{x7},\Mvariable{x8},\Mvariable{x9},\Mvariable{x10},\Mvariable{x11},
 \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{x13},\Mvariable{x14},\Mvariable{x15},\Mvariable{x16},\Mvariable{x17},\Mvariable{x18},y\};  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\\
\MathEnd{MathArray}  \\
\Mvariable{parameters}:=\{\Mvariable{u1},\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}\};.
\MathEnd{MathArray}
}
Bei diesen S{\"a}tzen sind viele Punkte und damit viele vor allem abh{\"a}ngige Variablen gegeben. Dies kann zu einem hohen Rechenaufwand bei den \gbn\ f{\"u}hren.
Wir definieren folgende Punkte:\\
$A,B,C$ als Eckpunkte des Dreiecks; dies sind die einzigen unabh{\"a}ngigen Punkte. Wir benutzen wieder die Vereinfachungen,
die wir beim Parallelogramm eingef{\"u}hrt haben: $A=(0,0)$ und $B=(u_1,0)$.
Des Weiteren sei $S$ der Schwerpunkt des Dreiecks $\Delta ABC$ und $H$ der H{\"o}henschnittpunkt.
Die neun Punkte des Feuerbachkreises sind die Seitenhalbierenden $M_a,M_b,M_c$, die H{\"o}henfu{\ss}punkte $F_A,F_B,F_C$ und die Mittelpunkte der Strecken $\overline{HA}, \overline{HB}, \overline{HC}$, benannt mit $N_A,N_B,N_C$.
Damit fehlen uns nur noch der Umkreismittelpunkt $M_{Umkreis}$ und der Mittelpunkt des Feuerbachkreises $M_{Feuerbach}$.
Diese Menge von Punkten geben wir jetzt in \ma\ ein:
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Punkte}\multsp \Mvariable{definieren}*)  \\
\Mfunction{Unprotect}[C];\\
A=\Muserfunction{point}[0,0];\\
B=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u1},0];   \\
C=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}];  \\
\Mvariable{Ma}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x1},\Mvariable{x2}];\\
\Mvariable{Mb}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x3},\Mvariable{x4}];\\
\Mvariable{Mc}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x5},0];   \\
\Mvariable{FA}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x7},\Mvariable{x8}];\\
\Mvariable{FB}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x9},\Mvariable{x10}];\\
\Mvariable{FC}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x11},0];\\
\Mvariable{NA}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x13},\Mvariable{x14}];\\
\Mvariable{NB}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x15},\Mvariable{x16}]; \\
\Mvariable{NC}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x17},\Mvariable{x18}];.\\
\MathEnd{MathArray}
}

Damit sind wir bereits bei der Formulierung unseres Satzes in \ma. Als erstes beschreiben wir einige Hilfskonstruktionen
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Hilfskonstruktionen}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}a=\Muserfunction{ppline}[B,C]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\{\Mvariable{u3},\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2},-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\}
}

\dispTFinmath{
b=\Muserfunction{ppline}[A,C]
}

\dispTFoutmath{
\{\Mvariable{u3},-\Mvariable{u2},0\}
}

\dispTFinmath{
c=\Muserfunction{ppline}[A,B]
}

\dispTFoutmath{
\{0,1,0\}
}

\dispTFinmath{
H=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[A,\Mvariable{FA}],\Muserfunction{ppline}[C,\Mvariable{FC}]]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}}{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x7}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}+\Mvariable{x11}\multsp
\Mvariable{x8}},\frac{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}}{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x7}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}+\Mvariable{x11}\multsp
\Mvariable{x8}}\Big\}
}

\dispTFinmath{
S=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[A,\Mvariable{Ma}],\Muserfunction{ppline}[C,\Mvariable{Mc}]]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x5}}{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x1}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}+\Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{x5}},\frac{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x5}}{\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x1}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}+\Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{x5}}\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{kFeuerbach}=\Muserfunction{p3circle}[\Mvariable{Mc},\Mvariable{FC},\Mvariable{NA}]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Big\{\frac{\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x14}-\Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x5}}{\Mvariable{x11}-\Mvariable{x5}},\frac{\Mvariable{x14}\multsp
{{\Mvariable{x5}}^2}-{{\Mvariable{x11}}^2}\multsp \Mvariable{x14}}{\Mvariable{x11}-\Mvariable{x5}},  \\
\noalign{\vspace{1.21875ex}}
\hspace{1.em} \frac{1}{\Mvariable{x11}-\Mvariable{x5}}(\Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{x11}}^2}-\Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{x11}}^2}-{{\Mvariable{x13}}^2}\multsp
\Mvariable{x11}-{{\Mvariable{x14}}^2}\multsp \Mvariable{x11}+{{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{x11}-  \\
\noalign{\vspace{1.29688ex}}
\hspace{4.em} \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+{{\Mvariable{x13}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{x14}}^2}\multsp \Mvariable{x5}),\frac{{{\Mvariable{x11}}^2}\multsp
\Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}}{\Mvariable{x11}-\Mvariable{x5}}\Big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{MFeuerbach}=\Muserfunction{circlecenter}[\Mvariable{kFeuerbach}]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{x11}+\Mvariable{x5}}{2},\frac{{{\Mvariable{x13}}^2}-\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x13}-\Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x13}+{{\Mvariable{x14}}^2}+\Mvariable{x11}\multsp
\Mvariable{x5}}{2\multsp \Mvariable{x14}}\Big\}
}
\pagebreak
\dispTFinmath{
\Mvariable{gEuler}=\Muserfunction{ppline}[H,S]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Big\{\frac{\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}}{\Mvariable{u3}},  \\
\noalign{\vspace{1.21875ex}}
\hspace{1.em} \frac{1}{\Mvariable{u3}}(\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{x1}\multsp
\Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x7}\multsp
\Mvariable{u3}+\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{1.29688ex}}
\hspace{4.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x11}\multsp
\Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}),\frac{{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x5}\multsp
\Mvariable{x8}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x7}}{\Mvariable{u3}}\Big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{kUmkreis}=\Muserfunction{p3circle}[A,B,C]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\Mvariable{u3},-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3},\frac{\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{u1}}{\Mvariable{u1}},0\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{MUmkreis}=\Muserfunction{circlecenter}[\Mvariable{kUmkreis}]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u1}}{2},\frac{{{\Mvariable{u2}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}{2\multsp \Mvariable{u3}}\Big\},
}


um dann die Gleichungen f{\"u}r die neun Punkte des Feuerbachkreises zu sammeln.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Konstruktion}\multsp \Mvariable{Seitenmittelpunkte}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{midpoint}[B,C]-\Mvariable{Ma}];   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{midpoint}[A,C]-\Mvariable{Mb}];   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{midpoint}[B,A]-\Mvariable{Mc}];\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*H\ODoubleDot henfusspunkte\footnote{In \ma output ist es nicht m{\"o}glich ein {\ss} auszugeben, daher hier mit ss.}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{pedalpoint}[A,a]-\Mvariable{FA}];   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{pedalpoint}[B,b]-\Mvariable{FB}];   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{pedalpoint}[C,c]-\Mvariable{FC}];\\
\MathEnd{MathArray}
}$^1$\footnotesize{In \ma output ist es nicht m{\"o}glich ein {\ss} zu verwenden.}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Seitendrittel}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{midpoint}[H,A]-\Mvariable{NA}];   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{midpoint}[H,B]-\Mvariable{NB}];   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{midpoint}[H,C]-\Mvariable{NC}];.\\
\MathEnd{MathArray}
}

Damit ergeben sich folgende Polynome:
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\multsp \Mvariable{Polynome}\multsp *)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{polys}=\Mfunction{Map}[\Mfunction{Numerator}[\Mfunction{Together}[\#]]\multsp \&,\multsp \Mvariable{Gleichungen}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}[p]{l}
\{\{({{\Mvariable{u2}}^5}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-3\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^3}+2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{5.em} 2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{5.em} 2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{x13}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13})/  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{3.em} (3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+2\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}),  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} ({{\Mvariable{u3}}^5}-\Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}+2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^3}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{5.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u2}}^4}\multsp
\Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{5.em} 2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{u3}+3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u3}-2\multsp {{\Mvariable{u1}}^3}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{x14}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{5.em} 6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x14}+3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{x14})/(-3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{5.em} 3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^4}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2})\},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^5}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-3\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^3}+2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 6\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp
\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} {{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{u2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{x13}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -{{\Mvariable{u3}}^5}+\Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}-2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^3}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} {{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{u3}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp {{\Mvariable{u1}}^3}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{x14}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x14}-3\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}+\Mvariable{u2}-2\multsp \Mvariable{x1},\Mvariable{u3}-2\multsp \Mvariable{x2},\Mvariable{u2}-2\multsp \Mvariable{x3},
 \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u3}-2\multsp \Mvariable{x4},\Mvariable{u1}-2\multsp \Mvariable{x5},0,  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x7}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x7}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x7},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-\Mvariable{x8}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x8}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x8},
 \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-\Mvariable{x9}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x9},
\\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{x10}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{x10},\Mvariable{u2}-\Mvariable{x11},0,  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{x7}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} -2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x15}\multsp \Mvariable{x7}-  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x15}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x15}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} -2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x16}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x16}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x16}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{x8}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{u2}+\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}\multsp
\Mvariable{u2}+2\multsp \Mvariable{x17}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u2}+  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x17}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp
\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x17}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-2\multsp \Mvariable{x18}\multsp \Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x18}\multsp
\Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x18}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}+\Mvariable{u2}-2\multsp \Mvariable{x1},\Mvariable{u3}-2\multsp \Mvariable{x2},\Mvariable{u2}-2\multsp \Mvariable{x3},\Mvariable{u3}-2\multsp
\Mvariable{x4},\Mvariable{u1}-2\multsp \Mvariable{x5},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} 0,-\Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x7}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x7}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x7},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-\Mvariable{x8}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x8}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x8},
 \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-\Mvariable{x9}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x9},
\\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{x10}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{x10},\Mvariable{u2}-\Mvariable{x11},0,  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{x7}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} -2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x15}\multsp \Mvariable{x7}-  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x15}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x15}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} -2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x16}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x16}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x16}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{x8}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{u2}+\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}\multsp
\Mvariable{u2}+2\multsp \Mvariable{x17}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u2}+  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x17}\multsp \Mvariable{x7}-2\multsp
\Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x17}\multsp \Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-2\multsp \Mvariable{x18}\multsp \Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x18}\multsp
\Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x18}\multsp \Mvariable{x8}\}.\\
\MathEnd{MathArray}
}
\pagebreak
Jetzt beschreiben wir unsere neun Folgerungen:
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{conclusion}\multsp \Mvariable{Feuerbachkreis}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{zz}=\{\Mvariable{FA},\Mvariable{FB},\Mvariable{FC},\Mvariable{NA},\Mvariable{NB},\Mvariable{NC},\Mvariable{Ma},\Mvariable{Mb},\Mvariable{Mc}\};.\\
\MathEnd{MathArray}
}
Hierzu verwenden wir den \ma-Befehl \texttt{Map}, um nicht jeden der neun Punkte in eine eigene Zeile schreiben zu m{\"u}ssen, sondern mit Mengen arbeiten zu k{\"o}nnen.
Oben haben wir $zz$ eingegeben, die Menge der neun Feuerbachpunkte. Diese setzen wir in unsere Folgerung, jeder Punkt liegt auf dem Feuerbachkreis, ein,
\dispTFinmath{
\Mvariable{cons}=\Mfunction{Map}[\multsp (\Muserfunction{oncircle}[\#1,\Mvariable{kFeuerbach}])\&,\Mvariable{zz}];
}
und pr{\"u}fen dann, ob alle Folgerungen im Radikalideal enthalten sind:
\dispTFinmath{
\Mfunction{Map}[\Muserfunction{IdealMember}[\#1,\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]\&,\Mvariable{cons}]//\Mfunction{Timing}
}

\dispTFoutmath{
\{0.22\multsp \Mvariable{Second},\{\Mvariable{True},\Mvariable{True},\Mvariable{True},\Mvariable{True},\Mvariable{True},\Mvariable{True},\Mvariable{True},\Mvariable{True},\Mvariable{True}\}\}.
}
Weil alle Punkte schon definiert sind, benutzen wir sie auch gleich, um den Satz von der Eulergeraden zu beweisen.
Hierbei ist die Eulergerade durch die Punkte $H$ und $S$ gegeben und wir testen, ob auch $M_{Feuerbach}$ und $M_{Umkreis}$ auf dieser Geraden liegen.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{conclusion}\multsp \Mvariable{Euler}\multsp \Mvariable{Gerade}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{conEuler1}=\Muserfunction{online}[\Mvariable{MFeuerbach},\Mvariable{gEuler}];\IndentingNewLine   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{conEuler2}=\Muserfunction{online}[\Mvariable{MUmkreis},\Mvariable{gEuler}];.\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{conEuler1},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}],  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{conEuler2},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]\}//\Mfunction{Timing}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\{0.321\multsp \Mvariable{Second},\{\Mvariable{True},\Mvariable{True}\}\}
}
Damit haben wir gezeigt, dass die Mittelpunkte des Umkreises und des Feuerbachkreises auf der Eulergeraden liegen.
\end{proof}
\end{section}

\begin{section}{Napoleonpunkte}
\begin{satz}[Satz des Napoleon]
Im Dreieck $\Delta ABC$ wird {\"u}ber der Seite $\overline{BC}$ ein gleichseitiges Dreieck $\Delta BA'C$ konstruiert.
An den anderen beiden Dreiecksseiten werden die gleichseitigen Dreiecke $\Delta{CB'A}$ und $\Delta{AC'B}$ konstruiert. Die Dreiecke m{\"u}ssen entweder alle nach innen oder alle nach au{\ss}en gerichtet sein.
$X$, $Y$ und $Z$ sind die Schwerpunkte der gleichseitigen Dreiecke. Der Napoleonpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden $\overline{AX}$, $\overline{BY}$ und $\overline{CZ}$
(nach Napoleon Bonaparte, 1769-1821).
\end{satz}
\begin{bemerkung}\label{Bem Napoleon auf Euler}
Man spricht vom ersten Napoleonpunkt, wenn die Dreiecke nach au{\ss}en gerichtet sind und vom zweiten, wenn sie nach innen gerichtet sind.
Diese beiden S{\"a}tze beweisen wir gemeinsam. Dies geschieht durch unsere Vereinfachungen, $A=(0,0)$ und $B=(u_1,0)$ und die Konstruktionsmethode,
die wir f{\"u}r gleichseitige Dreiecke w{\"a}hlen, n{\"a}mlich die Drehung eines Seitenendpunktes um 60° um den anderen; dabei ist die richtige Reihenfolge der Punkte zu beachten (siehe unten).
Dadurch erhalten wir den ersten Napoleonpunkte, wenn der Punkt $C$ oberhalb der Geraden $\overline{AB}$ liegt, und den zweiten, wenn er unterhalb liegt.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
Die Napoleonpunkte liegen ebenfalls auf der Eulergeraden.
\end{bemerkung}

\begin{figure}
\includegraphics[height=10cm]{Bilder/napoleon.mpo}
\caption{Napoleonpunkt}
\end{figure}
\pagebreak
\begin{proof}\nlvm
Wir beginnen auch diesen Beweis mit der Definition der Variablen.
\NewSession
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{vars}:=\{\Mvariable{x1},\Mvariable{x2},\Mvariable{x3},\Mvariable{x4},\Mvariable{x5},\Mvariable{x6},\Mvariable{x7},\Mvariable{x8},\Mvariable{x9},\Mvariable{x10},
 \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{x11},\Mvariable{x12},\Mvariable{x13},\Mvariable{x14},y\};  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\\
\MathEnd{MathArray}  \\
\Mvariable{parameters}:=\{\Mvariable{u1},\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}\};
\MathEnd{MathArray}
}

Da der Strich in \ma\ f{\"u}r die Ableitung steht, verwenden wir $As$, $Bs$ und $Cs$ anstatt $A', B'$ und $C'$. Ansonsten sind unsere Punkte wie im Satz benannt.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Punkte}\multsp \Mvariable{definieren}*)  \\
A=\Muserfunction{point}[0,0];\\
B=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u1},0];\\
C=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}];  \\
\Mvariable{As}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x1},\Mvariable{x2}];\\
\Mvariable{Bs}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x3},\Mvariable{x4}]; \\
\Mvariable{Cs}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x5},\Mvariable{x6}];\IndentingNewLine   \\
X=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x7},\Mvariable{x8}];\\
Y=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x9},\Mvariable{x10}];  \\
Z=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x11},\Mvariable{x12}];\IndentingNewLine   \\
\Mvariable{X17}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x13},\Mvariable{x14}];\\
\MathEnd{MathArray}
}

Jetzt definieren wir den Hilfspunkt $Napoleon$ (Napoleonpunkt) und erzeugen gleichseitige Dreiecke, indem wir einen Punkt der Dreiecksseite um $60°$ drehen.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Hilfspunkt}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{X17}=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[X,A],\Muserfunction{ppline}[Y,B]];
  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} (*\Mvariable{Konstruiere}\multsp \Mvariable{As}\multsp \Mvariable{Bs}\multsp \Mvariable{Cs}*)   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Mvariable{As}-\Muserfunction{rotate}[C,B,1/3]]   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Mvariable{Bs}-\Muserfunction{rotate}[A,C,1/3]]   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Mvariable{Cs}-\Muserfunction{rotate}[B,A,1/3]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{1}{2}\multsp \big(-\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x1}\big),\frac{1}{2}\multsp \big(-{\sqrt{3}}\multsp
\Mvariable{u1}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x2}\big)\Big\}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{1}{2}\multsp \big(-\Mvariable{u2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x3}\big),\frac{1}{2}\multsp \big(-{\sqrt{3}}\multsp
\Mvariable{u2}-\Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x4}\big)\Big\}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{1}{2}\multsp (2\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{u1}),\frac{1}{2}\multsp \big({\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{x6}\big)\Big\}
}

Danach erzeugen wir die Schwerpunkte $X, Y, Z$ der drei neuen Dreiecke
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Konstruktion}\multsp \Mvariable{X17}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{centroid}[\Mvariable{As},B,C]-X]   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{centroid}[A,\Mvariable{Bs},C]-Y]   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{centroid}[A,B,\Mvariable{Cs}]-Z]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u1}+\Mvariable{u2}+\Mvariable{x1}-3\multsp \Mvariable{x7}),\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u3}+\Mvariable{x2}-3\multsp
\Mvariable{x8})\Big\}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u2}+\Mvariable{x3}-3\multsp \Mvariable{x9}),\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u3}-3\multsp \Mvariable{x10}+\Mvariable{x4})\Big\}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u1}-3\multsp \Mvariable{x11}+\Mvariable{x5}),\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{x6}-3\multsp \Mvariable{x12})\Big\},
}

stellen alle Gleichungen zusammen
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\multsp \Mvariable{Polynome}\multsp *)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{polys1}=\Mvariable{Gleichungen}  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{polys}=\Mfunction{Map}[\Mfunction{Numerator}[\Mfunction{Together}[\#]]\multsp \&,\multsp \Mvariable{polys1}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Big\{\frac{1}{2}\multsp \big(-\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x1}\big),  \\
\noalign{\vspace{1.21875ex}}
\hspace{1.em} \frac{1}{2}\multsp \big(-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x2}\big),\frac{1}{2}\multsp
\big(-\Mvariable{u2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x3}\big),  \\
\noalign{\vspace{1.21875ex}}
\hspace{1.em} \frac{1}{2}\multsp \big(-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x4}\big),\frac{1}{2}\multsp (2\multsp
\Mvariable{x5}-\Mvariable{u1}),\frac{1}{2}\multsp \big({\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{x6}\big),  \\
\noalign{\vspace{1.21875ex}}
\hspace{1.em} \frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u1}+\Mvariable{u2}+\Mvariable{x1}-3\multsp \Mvariable{x7}),\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u3}+\Mvariable{x2}-3\multsp
\Mvariable{x8}),\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u2}+\Mvariable{x3}-3\multsp \Mvariable{x9}),  \\
\noalign{\vspace{1.21875ex}}
\hspace{1.em} \frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u3}-3\multsp \Mvariable{x10}+\Mvariable{x4}),\frac{1}{3}\multsp (\Mvariable{u1}-3\multsp \Mvariable{x11}+\Mvariable{x5}),\frac{1}{3}\multsp
(\Mvariable{x6}-3\multsp \Mvariable{x12})\Big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\big\{-\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2}-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x1},-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}+{\sqrt{3}}\multsp
\Mvariable{u2}-\Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x2},  \\
\noalign{\vspace{0.6875ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{u2}+{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{x3},-{\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u3}+2\multsp
\Mvariable{x4},2\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{u1},  \\
\noalign{\vspace{0.6875ex}}
\hspace{1.em} {\sqrt{3}}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{x6},\Mvariable{u1}+\Mvariable{u2}+\Mvariable{x1}-3\multsp \Mvariable{x7},\Mvariable{u3}+\Mvariable{x2}-3\multsp
\Mvariable{x8},  \\
\noalign{\vspace{0.75ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}+\Mvariable{x3}-3\multsp \Mvariable{x9},\Mvariable{u3}-3\multsp \Mvariable{x10}+\Mvariable{x4},\Mvariable{u1}-3\multsp
\Mvariable{x11}+\Mvariable{x5},\Mvariable{x6}-3\multsp \Mvariable{x12}\big\},\\
\MathEnd{MathArray}
}

formulieren unsere Folgerung, dass sich alle drei Geraden in einem Punkt treffen
\dispTFinmath{
\Mvariable{con}=\Mfunction{Numerator}[\Muserfunction{online}[\Mvariable{X17},\Muserfunction{ppline}[Z,C]]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x7}-\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x11}\multsp
\Mvariable{x7}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x12}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x12}\multsp
\Mvariable{x7}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x8}-  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x11}\multsp
\Mvariable{x8}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x12}\multsp \Mvariable{x8}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x8}\multsp
\Mvariable{x9}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x12}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{x9}\\
\MathEnd{MathArray}
}

und f{\"u}hren den Beweis des Satzes
\dispTFinmath{
\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]
}

\dispTFoutmath{
\{0.2\multsp \Mvariable{Second},\Mvariable{True}\}
}

An diesem Punkt l{\"a}sst sich m{\"u}helos auch noch die Bemerkung \ref{Bem Napoleon auf Euler} beweisen:
Die Napoleonpunkte liegen auf der Eulergeraden.

Dazu definieren wir den Schwerpunkt des Dreiecks
\dispTFinmath{
\Mvariable{Schwerpunkt}=\Muserfunction{centroid}[A,B,C]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u1}+\Mvariable{u2}}{3},\frac{\Mvariable{u3}}{3}\Big\}
}

und den Umkreismittelpunkt
\dispTFinmath{
\Mvariable{Umkreismittelpunkt}=\Muserfunction{circumcenter}[A,B,C]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u1}}{2},\frac{{{\Mvariable{u2}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}{2\multsp \Mvariable{u3}}\Big\}.
}
Diese beiden Punkte liegen auf der Eulergeraden.

Jetzt beweisen wir die Bemerkung \ref{Bem Napoleon auf Euler}:
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{con3}=\Muserfunction{online}[\Mvariable{Napoleon},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Muserfunction{ppline}[\Mvariable{Schwerpunkt},\Mvariable{Umkreismittelpunkt}]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}\multsp {{\Mvariable{u1}}^3}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x7}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-\Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x8}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{3.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{x9}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x10}\multsp
\Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^3}\multsp
\Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{3.em} \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x7}-\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x7}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{3.em} {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{x9}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x8}\multsp
\Mvariable{x9})/(\Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x7}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x8}-\Mvariable{x8}\multsp \Mvariable{x9})\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con3},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]//\Mfunction{Timing}
}

\dispTFoutmath{
\{0.201\multsp \Mvariable{Second},\Mvariable{True}\}.
}
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Das Schwerpunktedreieck ist gleichseitig.
\end{bemerkung}
\begin{proof}\nlvm
\dispTFinmath{
\Mvariable{con1}=\Mfunction{Numerator}[\Muserfunction{sqrdist}[X,Y]-\Muserfunction{sqrdist}[Y,Z]]
}

\dispTFoutmath{
-{{\Mvariable{x11}}^2}+2\multsp \Mvariable{x9}\multsp \Mvariable{x11}-{{\Mvariable{x12}}^2}+{{\Mvariable{x7}}^2}+{{\Mvariable{x8}}^2}+2\multsp \Mvariable{x10}\multsp
\Mvariable{x12}-2\multsp \Mvariable{x10}\multsp \Mvariable{x8}-2\multsp \Mvariable{x7}\multsp \Mvariable{x9}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{con2}=\Mfunction{Numerator}[\Muserfunction{sqrdist}[X,Z]-\Muserfunction{sqrdist}[Y,Z]]
}

\dispTFoutmath{
-{{\Mvariable{x10}}^2}+2\multsp \Mvariable{x12}\multsp \Mvariable{x10}+{{\Mvariable{x7}}^2}+{{\Mvariable{x8}}^2}-{{\Mvariable{x9}}^2}-2\multsp \Mvariable{x11}\multsp
\Mvariable{x7}-2\multsp \Mvariable{x12}\multsp \Mvariable{x8}+2\multsp \Mvariable{x11}\multsp \Mvariable{x9}
}

\dispTFinmath{
\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con1},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]//\Mfunction{Timing}
}

\dispTFoutmath{
\{0.06\multsp \Mvariable{Second},\Mvariable{True}\}
}

\dispTFinmath{
\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con2},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]//\Mfunction{Timing}
}

\dispTFoutmath{
\{0.04\multsp \Mvariable{Second},\Mvariable{True}\}
}
\end{proof}
\end{section}

\begin{section}{Pascalgerade}
\begin{satz}[Satz von Pascal]
W{\"a}hlt man sechs Punkte auf einem Kreis und nummeriert sie beliebig mit 1 bis 6, dann liegen die Schnittpunkte der Geraden 12 und 45, 23 und 56, 34 und 61 selbst wieder auf einer Geraden.
Diese Gerade hei{\ss}t Pascalgerade (Blaise Pascal, franz{\"o}sischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, 1623 - 1662).
\end{satz}
%\pagebreak

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/pascal.mpo}
\caption{Pascalgerade}
\end{figure}

\begin{proof}\nlvm
Ab jetzt werden wir die Definition von Punkten und Variablen nicht mehr kommentieren, da das Vorgehen dabei immer gleich ist.
\NewSession
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{vars}:=\{\Mvariable{x1},\Mvariable{x2},\Mvariable{x3},\Mvariable{x4},\Mvariable{x5},\Mvariable{x6},y\};  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}  \\
\Mvariable{parameters}:=\{\Mvariable{u1},\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}\};
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Punkte}\multsp \Mvariable{definieren}*)  \\
\Mvariable{P1}=\Muserfunction{point}[0,0];\\
\Mvariable{P2}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u1},\Mvariable{u2}];\IndentingNewLine  \\
\Mvariable{P3}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u3},\Mvariable{u4}];\\
\Mvariable{P4}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x1},\Mvariable{x2}]; \\
\Mvariable{P5}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x3},\Mvariable{x4}];\\
\Mvariable{P6}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x5},\Mvariable{x6}];\\
\MathEnd{MathArray}
}

Bei diesem Satz bilden wir jeweils aus Punktepaaren eine Gerade und schneiden diese mit einer anderen Geraden; dadurch erhalten wir die drei Punkte $A, B$ und $C$.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Hilfspunkte}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}A=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{P1},\Mvariable{P2}],\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{P4},\Mvariable{P5}]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{-\frac{\Mvariable{u1}\multsp (\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}-\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3})}{-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{x2}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}},\frac{\Mvariable{u2}\multsp (\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{x1}\multsp
\Mvariable{x4})}{-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x2}+\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{x4}}\Big\}
}

\dispTFinmath{
B=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{P2},\Mvariable{P3}],\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{P5},\Mvariable{P6}]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{(\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x3}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x6}\multsp
\Mvariable{x3}-  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{4.em} \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5})/
 \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} (\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}+\Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x4}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x6}),  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} (\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x4}-\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x4}+\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x4}-  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{4.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6})/  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} (\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x4}+\Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x4}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x6})\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{Unprotect}[C];  \\
C=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{P3},\Mvariable{P4}],\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{P6},\Mvariable{P1}]]
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{(\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}-\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x2})\multsp \Mvariable{x5}}{\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{x5}-\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x6}},\frac{(\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}-\Mvariable{u3}\multsp
\Mvariable{x2})\multsp \Mvariable{x6}}{\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{x1}\multsp
\Mvariable{x6}}\Big\}
}
\dispTFinmath{
\Mvariable{kKreis}=\Muserfunction{p3circle}[\Mvariable{P1},\Mvariable{P2},\Mvariable{P3}]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3},-\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u3},0\}\\
\MathEnd{MathArray}
}
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Konstruiere}\multsp \Mvariable{Pascalgerade}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{oncircle}[\Mvariable{P4},\Mvariable{kKreis}]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
-\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x1}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x2}\\
\MathEnd{MathArray}
}
\dispTFinmath{
\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{oncircle}[\Mvariable{P5},\Mvariable{kKreis}]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
-\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x3}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}\\
\MathEnd{MathArray}
}
\dispTFinmath{
\Muserfunction{AddGleichung}[\Muserfunction{oncircle}[\Mvariable{P6},\Mvariable{kKreis}]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
-\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x5}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}\\
\MathEnd{MathArray}
}

Die Zusammenfassung der Voraussetzungen lautet:
\dispTFinmath{
\Mvariable{polys}=\Mfunction{Map}[\Mfunction{Numerator}[\Mfunction{Together}[\#]]\multsp \&,\multsp \Mvariable{Gleichungen}]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{-\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x1}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x2},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x3}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x4},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+\Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp
\Mvariable{u1}-{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u1}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x5}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x6}\}.\\
\MathEnd{MathArray}
}

Die Folgerung besagt, dass $A,B$ und $C$ kollinear sind; dies kann man folgenderma{\ss}en notieren:
\dispTFinmath{
\Mvariable{con}=\Mfunction{Numerator}[\Mfunction{Together}[\Muserfunction{online}[C,\Muserfunction{ppline}[A,B]]]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}[p]{l}
\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp
\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp
\Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp
\Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\multsp \Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x5}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp {{\Mvariable{x6}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}+\Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp
{{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp
\Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x6}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x2}}^2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{u2}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp {{\Mvariable{x3}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}-\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp {{\Mvariable{x4}}^2}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u4}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u4}\multsp
{{\Mvariable{x2}}^2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp \Mvariable{x2}\multsp \Mvariable{x3}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}+\Mvariable{u1}\multsp
{{\Mvariable{u4}}^2}\multsp {{\Mvariable{x1}}^2}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u4}}^2}\multsp
\Mvariable{x1}\multsp \Mvariable{x4}\multsp \Mvariable{x5}\multsp \Mvariable{x6}\\
\MathEnd{MathArray}
}
Die Berechnung dieser Folgerung dauert in \ma\ ganze 3.5 Sekunden. Dagegen erfolgt der Beweis des Satzes sehr schnell, er ben{\"o}tigt nur 0.07 Sekunden:
\dispTFinmath{ \Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]//\Mfunction{Timing} }

\dispTFoutmath{ \{0.07\multsp \Mvariable{Second},\Mvariable{True}\} }

\end{proof}
\end{section}
\begin{section}{Exeterpunkt}
\begin{satz}[Exeterpunkt]\label{Exeterpunkt}
Gegeben sei ein ebenes Dreieck $\Delta ABC$ mit dem Schwerpunkt $S$. In seinen Ecken werden an den Umkreis Tangenten gelegt. Die Schnittpunkte dieser Tangenten werden in nahe liegender Weise mit $A',B'$ und $C'$ bezeichnet.
Die Gerade $\overline{AS}$ schneidet den Umkreis noch einmal im Punkt $A''$. Entsprechend werden die Punkte $B''$ und $C''$ konstruiert.
Dann gilt: Die Geraden $\overline{A'A''},\overline{B'B''}$ und $\overline{C'C''}$ schneiden sich in einem Punkt, dem Exeterpunkt
(Dieser Punkt wurde 1986 w{\"a}hrend einer Computer-Mathematik Tagung an der Phillips Exeter Academy entdeckt.).\cite{GeometrischUntersuchungen}
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/exeter.mpo}
\caption{Exeterpunkt}
\end{figure}
\begin{bemerkung}\label{Bem Exeterpunkt liegt auf Euler}
Wie viele andere Punkte liegt auch der Exeterpunkt auf der Eulergeraden.
\end{bemerkung}
\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{Exeterpunkt} und Bemerkung \ref{Bem Exeterpunkt liegt auf Euler}]\nlvm
\NewSession
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{vars}:=\{\Mvariable{x1},\Mvariable{x2},\Mvariable{x3},\Mvariable{x4},\Mvariable{x5},\Mvariable{x7},\Mvariable{x8},\Mvariable{x9},\Mvariable{x10},\Mvariable{x11},
 \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Mvariable{x13},\Mvariable{x14},\Mvariable{x15},\Mvariable{x16},\Mvariable{x17},\Mvariable{x18},y\};  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\\
\MathEnd{MathArray}  \\
\Mvariable{parameters}:=\{\Mvariable{u1},\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}\};
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Punkte}\multsp \Mvariable{definieren}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
A=\Muserfunction{point}[0,0];\\
B=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u1},0];\IndentingNewLine   \\
\Mfunction{Unprotect}[C];\\
C=\Muserfunction{point}[\Mvariable{u2},\Mvariable{u3}];  \\
\Mvariable{A1}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x1},\Mvariable{x2}];\\
\Mvariable{B1}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x3},\Mvariable{x4}]; \\
\Mvariable{C1}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x5},\Mvariable{x6}];\IndentingNewLine   \\
\Mvariable{A2}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x7},\Mvariable{x8}];\\
\Mvariable{B2}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x9},\Mvariable{x10}]; \\
\Mvariable{C2}=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x11},\Mvariable{x12}];\IndentingNewLine   \\
E=\Muserfunction{point}[\Mvariable{x13},\Mvariable{x14}];\\
\MathEnd{MathArray}
}
Nach diesen Vorbereitungen konstruieren wir jetzt den Umkreis und den Schwerpunkt des Dreiecks $\Delta ABC$
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Hilfskonstruktionen}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{kUmkreis}=\Muserfunction{p3circle}[A,B,C];\IndentingNewLine   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{MUmkreis}=\Muserfunction{circlecenter}[\Mvariable{kUmkreis}];\IndentingNewLine   \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{1.em} S=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[C,\Muserfunction{midpoint}[A,B]],  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{3.em} \Muserfunction{ppline}[A,\Muserfunction{midpoint}[B,C]]];,\\
\MathEnd{MathArray}
}
um danach die Punkte $A'',B''$ und $C''$ zu bestimmen (in \ma\ wegen der Ableitung $'$ als $A2,B2$ und $C2$ notiert).
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Konstruktion}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{A2}=\Muserfunction{otherclpoint}[A,\Mvariable{kUmkreis},\Muserfunction{ppline}[A,S]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{(\Mvariable{u1}+\Mvariable{u2})\multsp ({{\Mvariable{u1}}^2}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2})}{{{\Mvariable{u1}}^2}+2\multsp
\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}},\frac{{{\Mvariable{u3}}^3}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u3}}{{{\Mvariable{u1}}^2}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{B2}=\Muserfunction{otherclpoint}[B,\Mvariable{kUmkreis},\Muserfunction{ppline}[B,S]]
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Big\{\frac{{{\Mvariable{u2}}^3}-3\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+2\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{u2}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}{4\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-4\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}},
 \\
\noalign{\vspace{1.42188ex}}
\hspace{1.em} \frac{{{\Mvariable{u3}}^3}+2\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-2\multsp
\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}}{4\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-4\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{C2}=\Muserfunction{otherclpoint}[C,\Mvariable{kUmkreis},\Muserfunction{ppline}[C,S]]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{{{\Mvariable{u1}}^3}-3\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u1}}{{{\Mvariable{u1}}^2}-4\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+4\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+4\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}},-\frac{{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u3}}{{{\Mvariable{u1}}^2}-4\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u1}+4\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}+4\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}}\Big\}.
}
Als weitere Hilfskonstruktionen bestimmen wir die Tangenten in den Punkten $A,B,C$
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Tangenten}\multsp \Mvariable{an}\multsp \Mvariable{ABC}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{at}=\Muserfunction{ortholine}[A,\Muserfunction{ppline}[A,\Mvariable{MUmkreis}]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\{-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3},-{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2},0\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{bt}=\Muserfunction{ortholine}[B,\Muserfunction{ppline}[B,\Mvariable{MUmkreis}]]
}

\dispTFoutmath{
\{\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3},-{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2},-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
\Mvariable{u3}\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{ct}=\Muserfunction{ortholine}[C,\Muserfunction{ppline}[C,\Mvariable{MUmkreis}]]
}

\dispTFoutmath{
\{-(\Mvariable{u1}-2\multsp \Mvariable{u2})\multsp \Mvariable{u3},-{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2},-{{\Mvariable{u3}}^3}-{{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
\Mvariable{u3}\}
}
und ihre Schnittpunkte, die wir mit $A',B'$ und $C'$ benennen (in \ma\ als $A1,B1$ und $C1$ bezeichnet)
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Schnittpunkte}\multsp \Mvariable{der}\multsp \Mvariable{Tangenten}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{A1}=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Mvariable{bt},\Mvariable{ct}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}{2\multsp \Mvariable{u2}},\frac{\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u3}}{2\multsp \Mvariable{u2}}\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{B1}=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Mvariable{at},\Mvariable{ct}]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{-{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2}}{2\multsp (\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2})},\frac{\Mvariable{u1}\multsp
\Mvariable{u3}}{2\multsp (\Mvariable{u1}-\Mvariable{u2})}\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{C1}=\Muserfunction{intersectionpoint}[\Mvariable{bt},\Mvariable{at}]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u1}}{2},\frac{{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u3}}{2\multsp (-{{\Mvariable{u2}}^2}+\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2})}\Big\}.
}
Damit haben wir alle Hilfskonstruktionen zusammengestellt.
Die einzige Gleichung, die in unsere Variet{\"a}t einflie{\ss}t, ist: Der Exeterpunkt liegt auf den beiden Geraden $\overline{A'A''}$ und $\overline{B'B''}$
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{Seitendrittel}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{AddGleichung}[\Muserfunction{intersectionpoint}[\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{B1},\Mvariable{B2}],\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{A1},\Mvariable{A2}]]-E]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{({{\Mvariable{u2}}^5}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-3\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^3}+2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{4.em} 2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{4.em} 2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{x13}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13})/  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} (3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+2\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}),  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} ({{\Mvariable{u3}}^5}-\Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}+2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^3}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{4.em} 2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{u3}-2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp
\Mvariable{u3}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{4.em} 3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}-2\multsp {{\Mvariable{u1}}^3}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u3}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{x14}-6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x14}+3\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14})/  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} (-3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^4}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2})\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\multsp \Mvariable{Polynome}\multsp *)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{polys1}=\Mvariable{Gleichungen};  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{polys}=\Mfunction{Map}[\Mfunction{Numerator}[\Mfunction{Together}[\#]]\multsp \&,\multsp \Mvariable{polys1}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\{{{\Mvariable{u2}}^5}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-3\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^3}+2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}+{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}-3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp
{{\Mvariable{u2}}^2}-2\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{u2}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{u2}-\Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^3}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^4}\multsp \Mvariable{x13}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x13},  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} -{{\Mvariable{u3}}^5}+\Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^4}-{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}-2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^3}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp
{{\Mvariable{u3}}^2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}-{{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp
\Mvariable{u3}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{2.em} 3\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}+2\multsp {{\Mvariable{u1}}^3}\multsp \Mvariable{u2}\multsp
\Mvariable{u3}-3\multsp {{\Mvariable{u2}}^4}\multsp \Mvariable{x14}+6\multsp \Mvariable{u1}\multsp {{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x14}-3\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\}.\\
\MathEnd{MathArray}
}
Die Folgerung besagt, dass der Exeterpunkt auf der Geraden $\overline{C'C''}$ liegt, das sieht in GeoBeweiser-Schreibweise so aus:
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
(*\Mvariable{conclusion}*)  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}\Mvariable{con}=\multsp \Muserfunction{online}[E,\Muserfunction{ppline}[\Mvariable{C1},\Mvariable{C2}]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^3}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}-\Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x13}\multsp
{{\Mvariable{u1}}^2}-\Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp {{\Mvariable{u1}}^2}+{{\Mvariable{u3}}^3}\multsp \Mvariable{u1}+  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{u1}+2\multsp \Mvariable{u2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x13}\multsp
\Mvariable{u1}+3\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{u1}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{u1}-
 \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} 2\multsp {{\Mvariable{u3}}^3}\multsp \Mvariable{x13}-2\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x13}-2\multsp
{{\Mvariable{u2}}^3}\multsp \Mvariable{x14}-2\multsp \Mvariable{u2}\multsp {{\Mvariable{u3}}^2}\multsp \Mvariable{x14}.\\
\MathEnd{MathArray}
}

Diese Aussage lassen wir jetzt durch \ma\ beweisen, indem wir folgende Befehle eingeben
\dispTFinmath{
\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]//\Mfunction{Timing}
}

\dispTFoutmath{
\{0.03\multsp \Mvariable{Second},\Mvariable{True}\}
}

Auch hier vergessen wir nicht die Bemerkung, dass dieser Punkt auf der Eulergeraden liegt.
Die Konstruktion von Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt kennen wir schon vom Satz {\"u}ber die Napoleonpunkte.

\dispTFinmath{
\Mvariable{Schwerpunkt}=\Muserfunction{centroid}[A,B,C]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u1}+\Mvariable{u2}}{3},\frac{\Mvariable{u3}}{3}\Big\}
}

\dispTFinmath{
\Mvariable{Umkreismittelpunkt}=\Muserfunction{circumcenter}[A,B,C]
}

\dispTFoutmath{
\Big\{\frac{\Mvariable{u1}}{2},\frac{{{\Mvariable{u2}}^2}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}}{2\multsp \Mvariable{u3}}\Big\}
}

Damit m{\"u}ssen wir nur noch zeigen, dass der Exeterpunkt auf der Eulergeraden liegt.
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mvariable{con3}=\Muserfunction{online}[\Mvariable{Exeter},  \\
\noalign{\vspace{0.625ex}}
\hspace{2.em} \Muserfunction{ppline}[\Mvariable{Schwerpunkt},\Mvariable{Umkreismittelpunkt}]]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
-{{\Mvariable{u2}}^3}+3\multsp \Mvariable{x13}\multsp {{\Mvariable{u2}}^2}+{{\Mvariable{u1}}^2}\multsp \Mvariable{u2}-{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{u2}-  \\
\noalign{\vspace{0.601563ex}}
\hspace{1.em} 3\multsp \Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{x13}\multsp \Mvariable{u2}+2\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x14}\multsp \Mvariable{u2}+{{\Mvariable{u3}}^2}\multsp
\Mvariable{x13}-\Mvariable{u1}\multsp \Mvariable{u3}\multsp \Mvariable{x14}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\Muserfunction{IdealMember}[\Mvariable{con3},\Mvariable{polys},\Mvariable{vars}]//\Mfunction{Timing}
}

\dispTFoutmath{
\{0.01\multsp \Mvariable{Second},\Mvariable{True}\}
}

Damit ist bewiesen, dass auch der Exeterpunkt auf der Eulergeraden liegt.
\end{proof}
In diesem Abschnitt haben wir einige geometrische S{\"a}tze automatisch bewiesen und ein Verfahren kennengelernt, dass es uns erm{\"o}glicht
geometrische Vermutungen zu {\"u}berpr{\"u}fen.
%Mit dem automatischen Beweisen kann man viele geometrische S{\"a}tze beweisen, oder {\"u}berpr{\"u}fen ob geometrische Vermutungen stimmen.
W{\"a}hrend der Erstellung dieser Arbeit wurden, neben den erw{\"a}hnten, weitere S{\"a}tze bewiesen, z.B. der Satz des Pythagoras, der Kreisssatz von Apollonius und andere,
aber diese alle aufzuf{\"u}hren w{\"u}rde den Rahmen der Diplomarbeit sprengen.
\end{section}
