\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]
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\input{kopf}
\begin{document}
\begin{satz}\label{Satz Parallelogramm}
Es seien A, B, C, D die Ecken eines Parallelogramms in der Ebene, wie in der Abbildung \ref{Abb. Beispiel
Parallelogramm} zu sehen. Die Diagonalen $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ schneiden sich im Punkt $N$.

Die Strecken ($\overline{AN}$ und $\overline{ND}$) und ($\overline{BN}$ und $\overline{NC}$) sind gleich lang, d.h.
$\abs{AN}=\abs{DN}$ und $\abs{BN}=\abs{CN}$.
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(12,5)
\put(0,0){$A(0,0)$} \put(0,0.5){\line(3,4){3}} \put(3,4.8){$C(u_2,u_3)$} \put(3,4.5){\line(1,0){7}}
\put(10,4.8){$D(x_1,x_2)$} \put(7,0.5){\line(3,4){3}} \put(0,0.5){\line(1,0){7}} \put(7,0){$B(u_1,0)$}
%Diagonalen
\put(0,0.5){\line(5,2){10}} \put(3,4.5){\line(1,-1){4}} \put(5.5,2.35){$N(x_3,x_4)$}
\end{picture}
\caption{Parallelogramm}\label{Abb. Beispiel Parallelogramm}
\end{figure}
\newpage

\begin{definition}[Morleydreieck]\label{Morleydreieck}
Auf die Seiten eines Dreiecks $\Delta ABC$ werden nach innen sich nicht {\"u}berlappende Dreiecke $\Delta ABD$, $\Delta
BCE$ und $\Delta CAF$ so aufgesetzt, dass die Winkel des Dreiecks $\Delta ABC$ in drei gleiche Teile geteilt werden.
Das aus den Spitzen der aufgesetzten Dreiecke gebildete Dreieck $\Delta DEF$ hei{\ss}t erstes Morleydreieck des Dreiecks
$\Delta ABC$ (nach Frank Morley 1860-1937)\cite[Seite 24]{Coxeter}
\end{definition}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/spiegel10.mpo}
\caption{Morleydreieck}
\end{figure}


\begin{satz}[Satz von Morley]\label{Satz von Morley}
Das erste Morleydreieck eines Dreiecks ist gleichseitig.
\end{satz}
\newpage

\begin{satz}[Feuerbachkreis]
In jedem Dreieck liegen die drei Seitenmitten, die drei H{\"o}henfu{\ss}punkte und die drei Mitten zwischen dem
H{\"o}henschnittpunkt H und den Ecken auf einem Kreis. Der Kreis hei{\ss}t Feuerbachkreis oder auch Neunpunktekreis (nach Karl
Wilhelm Feuerbach 1800-1834, Professor der Mathematik am Gymnasium in Erlangen).\cite[Seite 34]{CoxeterUnv}
\end{satz}
Als weiterf{\"u}hrende Anwendung bietet sich die Eulergerade, da in der Konstruktion des Feuerbachkreises bereits fast alle
ben{\"o}tigten Punkte enthalten sind.
\begin{satz}[Eulergerade]
Der H{\"o}henschnittpunkt $H$, der Schwerpunkt $S$, der Mittelpunkt des Feuerbachkreises $M_{Feuerbach}$ und der
Schnittpunkt $M_{Umkreis}$ der Mittelsenkrechten liegen auf einer Geraden. Diese Gerade hei{\ss}t Eulergerade (nach
Leonhard Euler 1707-1783, dem \anf{produktivsten} Mathematiker aller Zeiten).\cite[Seite 56]{Scheid}
\end{satz}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/feuerbachkreis.mpo}
\caption{Feuerbachkreis und Eulergerade}
\end{figure}
\newpage
\begin{satz}[Satz des Napoleon]
Im Dreieck $\Delta ABC$ wird {\"u}ber der Seite $\overline{BC}$ ein gleichseitiges Dreieck $\Delta BA'C$ konstruiert. An
den anderen beiden Dreiecksseiten werden die gleichseitigen Dreiecke $\Delta{CB'A}$ und $\Delta{AC'B}$ konstruiert. Die
Dreiecke m{\"u}ssen entweder alle nach innen oder alle nach au{\ss}en gerichtet sein. $X$, $Y$ und $Z$ sind die Schwerpunkte
der gleichseitigen Dreiecke. Der Napoleonpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden $\overline{AX}$, $\overline{BY}$ und
$\overline{CZ}$ (nach Napoleon Bonaparte, 1769-1821).
\end{satz}
\begin{bemerkung}\label{Bem Napoleon auf Euler}
Man spricht vom ersten Napoleonpunkt, wenn die Dreiecke nach au{\ss}en gerichtet sind und vom zweiten, wenn sie nach innen
gerichtet sind. Diese beiden S{\"a}tze beweisen wir gemeinsam. Dies geschieht durch unsere Vereinfachungen, $A=(0,0)$ und
$B=(u_1,0)$ und die Konstruktionsmethode, die wir f{\"u}r gleichseitige Dreiecke w{\"a}hlen, n{\"a}mlich die Drehung eines
Seitenendpunktes um 60° um den anderen; dabei ist die richtige Reihenfolge der Punkte zu beachten (siehe unten).
Dadurch erhalten wir den ersten Napoleonpunkte, wenn der Punkt $C$ oberhalb der Geraden $\overline{AB}$ liegt, und den
zweiten, wenn er unterhalb liegt.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
Die Napoleonpunkte liegen ebenfalls auf der Eulergeraden.
\end{bemerkung}

\begin{figure}
\includegraphics[height=10cm]{Bilder/napoleon.mpo}
\caption{Napoleonpunkt}
\end{figure}
\newpage
\begin{satz}[Satz von Pascal]
W{\"a}hlt man sechs Punkte auf einem Kreis und nummeriert sie beliebig mit 1 bis 6, dann liegen die Schnittpunkte der
Geraden 12 und 45, 23 und 56, 34 und 61 selbst wieder auf einer Geraden. Diese Gerade hei{\ss}t Pascalgerade (Blaise
Pascal, franz{\"o}sischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, 1623 - 1662).
\end{satz}
%\pagebreak

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/pascal.mpo}
\caption{Pascalgerade}
\end{figure}
\newpage
\begin{satz}[Exeterpunkt]\label{Exeterpunkt}
Gegeben sei ein ebenes Dreieck $\Delta ABC$ mit dem Schwerpunkt $S$. In seinen Ecken werden an den Umkreis Tangenten
gelegt. Die Schnittpunkte dieser Tangenten werden in nahe liegender Weise mit $A',B'$ und $C'$ bezeichnet. Die Gerade
$\overline{AS}$ schneidet den Umkreis noch einmal im Punkt $A''$. Entsprechend werden die Punkte $B''$ und $C''$
konstruiert. Dann gilt: Die Geraden $\overline{A'A''},\overline{B'B''}$ und $\overline{C'C''}$ schneiden sich in einem
Punkt, dem Exeterpunkt (Dieser Punkt wurde 1986 w{\"a}hrend einer Computer-Mathematik Tagung an der Phillips Exeter Academy
entdeckt.).\cite{GeometrischUntersuchungen}
\end{satz}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/exeter.mpo}
\caption{Exeterpunkt}
\end{figure}
\begin{bemerkung}\label{Bem Exeterpunkt liegt auf Euler}
Wie viele andere Punkte liegt auch der Exeterpunkt auf der Eulergeraden.
\end{bemerkung}
\end{document}
