\begin{chapter}{Grundlagen}
In diesem Kapitel befassen wir uns zuerst mit den Grundlagen der Geometrie, um dann Einblicke in die Variet{\"a}ten zu gewinnen.
Danach wenden wir uns der Algebra zu  -- den Idealen -- und verkn{\"u}pfen diese im vierten Teil mit den Variet{\"a}ten.
Am Ende des Kapitels betrachten wir unser wichtigstes Werkzeug, die \gbn.
Damit haben wir alle Grundlagen beisammen, um im n{\"a}chsten Kapitel mit dem automatischen Beweisen beginnen zu k{\"o}nnen.

Um Missverst{\"a}ndnisse zu vermeiden, definieren wir zun{\"a}chst $\nmenge$ als die nat{\"u}rlichen Zahlen mit $0$.

\begin{section}{Geometrie}\label{Geometrie}
Dieser Abschnitt befasst sich mit den Grundlagen der ebenen,
euklidischen Geometrie. Grundelemente der euklidischen Geometrie
sind Punkte, Geraden, welche Punkte verbinden, und Kreise. Geraden wiederum
schneiden sich in Punkten. Aus diesen Grund\-elementen entsteht eine
Geometrie, in der u.a. Dreiecke, Vierecke, $n$-Ecke und Winkel enthalten sind. Wir betrachten nur die Geometrie im $\rmenge^2$, auch ebene Geometrie genannt. Ebene Geometrie umfasst stark vereinfacht alles,
was man mit Zirkel und Lineal auf Papier zeichnen kann -- zusammen mit einigen
weiteren Eigenschaften (z.B. Winkeldreiteilung, dazu sp{\"a}ter mehr).

Dabei benutzen wir folgende Konventionen, um die Arbeit einfacher lesbar und {\"u}bersichtlicher zu gestalten.

\begin{description}
\item[Punkte:] Punkte werden immer mit Gro{\ss}buchstaben bezeichnet. Ein Punkt $A$ hat
die Koordinaten $(a_1,a_2)\in\rmenge^2$. Die Menge aller Punkte im
$\rmenge^2$ bezeichnen wir mit $\Punkte$.

\item[Geraden:] Die Geraden bezeichnen wir mit Kleinbuchstaben;
$\Geraden$ steht f{\"u}r die Menge aller Geraden im $\rmenge^2$.

\item[Kreislinie:]
Kreislinien kennzeichnen wir durch ein $^o$, wie z.B. $K^o$;
%$^o$ besagt, dass es sich um eine Kreislinie handelt, und
die Menge aller Kreislinien im $\rmenge^2$ bezeichnen wir mit $\Kreise$.
\pagebreak
\item[Geradenwinkel:] $\angle{[g,h]}$ steht f{\"u}r den Tangens des Winkels zwischen den Geraden $g$ und $h$.
Dabei betrachten wir den Winkel $\alpha$, der von der Geraden $g$ zur Geraden $h$ geht und mathematisch positiv orientiert ist.
Der Wert des Geradenwinkels $\angle{[g,h]}$ ist dann $\tan\alpha$.
%der Wert des Geradenwinkels ergibt sich als Tangens des Winkels von der ersten Geraden zur zweiten Geraden, gegen den Uhrzeigersinn.
Dadurch ist der Geradenwinkel eindeutig definiert.
$\Geradenwinkel$ steht f{\"u}r die Menge aller Geradenwinkel im $\rmenge^2$.\\
\newline
\includegraphics[width=5cm]{Bilder/winkel.mpo}

\item[Strecken:] Eine Strecke wird durch zwei Punkte definiert. F{\"u}r $A,B\in\Punkte$ ist
$\overline{AB}$ die Strecke von $A$ nach $B$ und
$\absover{AB}$ die L{\"a}nge der Strecke $\overline{AB}$.

\item[Andere:] Alle weiteren geometrischen Objekte werden durch Indizes
markiert, z.B. $P_{Parallelogramm}$ ist ein Parallelogramm.
\end{description}

Geometrische Eigenschaften lassen sich auf verschiedenste
Weisen beschreiben. Man kann sie als Bedingungen formulieren:
Liegt der Punkt $A$ auf dem Kreis $K^o$?
Oder man kann den Kreis $L^o$ erzeugen, der den Mittelpunkt des Kreises $K^o$ und den Randpunkt $A$ hat.
Sollte $L^o$ identisch mit $K^o$ sein, haben wir dieselbe
Fragestellung gel{\"o}st. Beim ersten mal haben wir direkt eine Bedingung
angegeben, und beim zweiten mal haben wir ein neues Objekt erzeugt,
um es dann mit dem ersten zu vergleichen. Deswegen sind folgende Aussagen {\"a}quivalent f{\"u}r die algebraische
Betrachtung

\begin{tabular}[t]{ll}
{geg.: $A,B$}&{Die Gerade $g$ wird erzeugt aus den Punkten $A$ und $B$}\\
{geg.: $g,A,B$}&{Die Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Geraden $g$}
\end{tabular}

Wir verwenden ab hier immer die zweite Form. Sp{\"a}ter werden wir teilweise beide Formen benutzen, da die Bedienung des Beweisers dadurch intuitiver wird. F{\"u}r diesen theoretischen Teil
w{\"u}rde es jedoch zu einer Verdoppelung der Liste der geometrischen Eigenschaften f{\"u}hren.

In dieser Liste geben wir die geometrischen Eigenschaften der beteiligten Objekte an,
z.B. die Eigenschaft \anf{$A$ liegt auf $g$},
die bedeutet ein Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$. Die beteiligten Objekte sind in diesem Fall ein Punkt $A$ und eine Gerade $g$.\\
Zur Erinnerung: \Punkte\ sind die Punkte, \Geraden\ die Geraden, \Geradenwinkel\ die Geradenwinkel und \Kreise\ die Kreislinien.

\input{listegeometrisch}

\end{section}

\begin{section}{Variet{\"a}ten}

Da wir das Tupel $(x_1,\ldots ,x_n)$ h{\"a}ufiger ben{\"o}tigen, nennen wir es $\overline{x}$.
\begin{definition}[Affine Variet{\"a}ten]
Es seien $k$ ein K{\"o}rper und $f_1,...,f_s$ Polynome aus
$k[\overline{x}]$.
Dann ist
\begin{equation*}
\Vfunc(f_1,...,f_s)=\{\overline{a}=(a_1,\ldots,a_n)\in k^n
| f_i(\overline{a})=0 \mbox{ f{\"u}r alle } {1\leq i\leq s}\}
\end{equation*}
die {\bf affine Variet{\"a}t} zu $f_1,...,f_s$.
Geometrisch betrachtet sind \textbf{affine Variet{\"a}ten} Teilmengen des $\rmenge^n$ mit besonderen Eigenschaften.
\end{definition}

\begin{definition}[Irreduzible Variet{\"a}ten]\label{Satz Irreduzibel}
Eine affine Variet{\"a}t $V\subset k[\overline{x}]$ hei{\ss}t \textbf{irreduzibel},
wenn f{\"u}r jede Zerlegung $V=V_1\cup V_2$ von $V$ in affine Variet{\"a}ten $V_1=V$ oder $V_2=V$ gilt. Ansonsten nennt man sie \textbf{reduzibel}.
\end{definition}

\pagebreak
\begin{beispiel}[Variet{\"a}ten]
\begin{enumerate}
\item Kreislinie (Abb. \ref{Varietaet: Kreis})\\
$V_1=\Vfunc(x^2+y^2-1)\subseteq\rmenge^2$ beschreibt einen Kreis mit Radius 1. \newline
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{Bilder/Kreis}
\caption{Variet{\"a}t: Kreis $V_1=\Vfunc(x^2+y^2-1)$}\label{Varietaet: Kreis}
\end{center}
\end{figure}

\item Variet{\"a}t (Abb. \ref{Reduzible Varietaet})\\
$V_2=\Vfunc((x^2 - y)(y - x)(y^2 - x))\subseteq\rmenge^2$ \newline
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{Bilder/kompliziert}
\caption{Reduzible Variet{\"a}t: $V_2=\Vfunc((x^2 - y)(y - x)(y^2 - x))$}\label{Reduzible Varietaet}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{satz}[Zerlegung von Variet{\"a}ten in Irreduzible]\label{Zerlegung von Varietaeten in irreduzible}
Sei $V\subset k[\overline{x}]$ eine affine Variet{\"a}t. Dann kann man $V$ als endliche Vereinigung irreduzibler Variet{\"a}ten schreiben:
\begin{equation}
V=V_1\cup\ldots\cup V_m.\label{Zerlegung von V}
\end{equation}
\end{satz}
Der Beweis wird bei \cite{Kunz97geo} auf Seite 32 gef{\"u}hrt.
\pagebreak
\begin{beispiel}[Reduzible Variet{\"a}t]
Es sei $V_2=\Vfunc((x^2 - y)(y - x)(y^2 - x))$. Eine Zerlegung dieser Variet{\"a}t ist $V_2=\Vfunc(x^2-y)\cup \Vfunc(y-x)\cup \Vfunc(y^2-x)$.
Die Zerlegung ergibt sich aus der Tatsache, dass die Variet{\"a}t die Nullstellenmenge des Polynoms ist.
Die Komponenten der Zerlegung sind hier irreduzibel, da die zugeh{\"o}rigen Polynome irreduzibel {\"u}ber $\rmenge$ sind (Der Beweis hierzu folgt sp{\"a}ter).

Auf den Abbildungen \ref{varietaet1}-\ref{varietaet3} sieht man die Zerlegung der Variet{\"a}t $V_2$.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{Bilder/varietaet1}
\caption{Variet{\"a}t: $\Vfunc(x^2-y)$}\label{varietaet1}

\includegraphics[height=4cm]{Bilder/varietaet2}
\caption{Variet{\"a}t: $\Vfunc(x-y)$\label{varietaet12}}

\includegraphics[height=4cm]{Bilder/varietaet3}
\caption{Variet{\"a}t: $\Vfunc(y^2-x)$\label{varietaet3}}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{Bilder/varietaet123}
\caption{Variet{\"a}t: $\Vfunc((x^2 - y)(y - x)(y^2 - x))$\label{varietaet123}}
\end{center}
\end{figure}
\end{beispiel}
\pagebreak
\begin{beispiel}[Irreduzible Variet{\"a}t]
Es sei $V_1=\Vfunc(x^2+y^2-1)$. Dann ist die Variet{\"a}t der Rand des Einheitskreises (siehe Abbildung \ref{Varietaet: Kreis}).
Das Polynom $x^2+y^2-1$ ist nicht zerlegbar. Daher ist diese Variet{\"a}t irreduzibel.
\end{beispiel}

\end{section}
\begin{section}{Ideale}
\begin{definition}[Ideal]
Es sei k ein K{\"o}rper.
Eine Menge $I\subset k[\overline{x}]$ ist ein \textbf{Ideal}, wenn stets gilt
\begin{enumerate}
\item $0\in I$.
\item $f,g\in I\Rightarrow f+g\in I$.
\item $f\in I$ und $h\in k[\overline{x}]\Rightarrow h\cdot f\in I$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Radikalideal]
Es sei k ein K{\"o}rper.
Sei $I\subset k[\overline{x}]$ ein Ideal,
dann nennt man die Menge
\begin{equation*}
\sqrt{I}:=\left\{t\in k[\overline{x}]\left|\exists{n\in\nmenge}:t^n\in I\right.\right\}
\end{equation*}
das \indexbf{Radikalideal} von $I$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Ein Radikalideal ist ein Ideal.
\end{bemerkung}

\begin{definition}
Seien $f_1,\ldots,f_s$ Polynome aus $k[\overline{x}]$, dann ist
\begin{equation*}
I=\langle f_1,\ldots,f_s\rangle:=\left\{\left.\sum_{i=1}^s h_i f_i \right| h_1,\ldots,h_s\in k[\overline{x}]\right\}
\end{equation*}
das von $f_1,\ldots,f_s$ erzeugte Ideal.
\end{definition}

\begin{definition}[Hauptideal]
Ein \textbf{Hauptideal} ist ein Ideal, f{\"u}r das ein Element existiert, das das Ideal erzeugt.
F{\"u}r jedes Hauptideal $I$ gibt es also ein $f\in I$, so dass $\langle f\rangle =I$.
\end{definition}

\begin{definition}[Primideal]
Es sei $I\subset k[\overline{x}]$ ein Ideal. Man nennt $I$ \textbf{Primideal} genau dann, wenn f{\"u}r alle $f,g\in k[\overline{x}]$ mit $f\cdot g\in I$ stets $f\in I$ oder $g\in I$ gilt.
\end{definition}

\begin{satz}[Noethersche Ketten]\label{Satz Noetersche Kette}
Es sei $k$ ein K{\"o}rper und
\begin{equation*} I_1\subset I_2\subset I_3\subset \cdots
\end{equation*} eine aufsteigende Kette von Idealen in
$k[\overline{x}]$, dann gibt es ein $N\geq 1$, so dass
\begin{equation*}
I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots
\end{equation*}
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Geg.: $I_1\subset I_2\subset I_3\subset \cdots$

Es sei $I=\bigcup_{j=1}^\infty I_j$. Als erstes zeigen wir, dass $I$ ein Ideal ist:
\begin{enumerate}
\item $0\in I$, da $0\in I_1$.
\item Es seien $f,g\in I \Longrightarrow\exists i,j: f\in I_i\text{ und }g\in I_j \Longrightarrow f,g\in I_{max(i,j)} \Longrightarrow f+g\in I_{max(i,j)}\Longrightarrow f+g\in I$
\item Es sei $r\in k[\overline{x}]$ und $f\in I$, dann gilt wie eben: $\exists_i f\in I_i\subset I \Longrightarrow r\cdot f\in I_i\subset I$
\end{enumerate}
\begin{equation*}
\Longrightarrow I \text{ ist ein Ideal}
\end{equation*}
Zeigen wir nun, dass $I_n$ stabil wird.\\
Nach dem Hilbertschen Basissatz (siehe \cite[Seite 74ff]{Cox96}) hat jedes Ideal ein endliches Erzeugendensystem: $I=\langle f_1,\ldots,f_s\rangle$.
Jedes dieser $f_i$ ist in einem $I_{j_i}$ enthalten: $i=1,\ldots,s$. Es sei $N$ das Maximum der $j_i$. Dann gilt $f_i\in I_N \forall_{i=1,\ldots,s}$,
damit gilt $\langle f_1,\ldots,f_s\rangle=I_N\subset I_{N+1}\subset\ldots\subset I=\langle f_1,\ldots,f_s\rangle$\\
$\Longrightarrow$ Jede aufsteigende Kette von Idealen wird station{\"a}r.
\end{proof}

\begin{satz}\label{k[x] ist Hauptidealring}
Es sei $k$ ein K{\"o}rper. Dann ist $k[x]$ Hauptidealring.
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Es sei $I\subset k[x]$ ein Ideal.
Wenn $I=\{0\}$ gilt, ist der Satz wahr, da $\langle 0\rangle=I$.
%Ansonsten sei $f$ ein nichtverschwindendes Polynom von minimalem Grad in $I$.
Ansonsten sei $deg:k[x]\rightarrow \nmenge$ die Gradabbildung,
$deg(I)=M\subseteq \nmenge$ und $n_0=min(M)$. W{\"a}hle $f\in I$, so dass $deg(f)=n_0$, d.h. $f$ hat minimalen Grad in $I$.

Jetzt zeigen wir: $\langle f\rangle=I$.

Da $I$ ein Ideal ist und $f\in I$ folgt sofort $\langle f\rangle\subset I$.

F{\"u}r die andere Richtung sei $g\in I$.
Dann ergibt sich aus dem Divisionsalgorithmus, dass es $q,r\in k[x]$ gibt mit $g=qf+r$, mit $r=0$ oder $deg(r)<deg(f)$.
Da $f\in I$ und $I$ ein Ideal, ist auch $qf\in I$ und damit auch $r=g-qf\in I$. Wenn $r$ nicht null ist, gilt $deg(r)<deg(f)$ und $r\in I$, was im Widerspruch zu unserer Annahme von $f$ steht.
Daher ist $r=0$, so dass $g=qf\in\langle f\rangle$
$$\Longrightarrow \langle f\rangle=I$$
\end{proof}

\end{section}

\begin{section}{Zusammenhang zwischen Variet{\"a}ten und Idealen}
\begin{definition}[Verschwindungsideal]
Es sei $V$ eine Variet{\"a}t. Dann ist
\begin{equation*}
\Ifunc(V):=\left\{f\in k[\overline{x}]|f(\overline{x})=0\text{ f{\"u}r alle }\overline{x}\in V\right\}
\end{equation*}
das Verschwindungsideal zu V.
\end{definition}

\begin{satz}[Hilbertscher Nullstellensatz]\label{Hilbertscher Nullstellensatz}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K{\"o}rper, $I\subset k[\overline{x}]$ ein Ideal. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $\Ifunc(\Vfunc(I))=\sqrt{I}$
\item $\Vfunc(I)=\emptyset \Longleftrightarrow I=k[\overline{x}]$
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{bemerkung}\label{Bemerkung aus der Algebra HNS}
Aus der Algebra kennen wir:
\begin{align*}
\text{Seien }L,t\text{ K{\"o}rper mit }L=t[\lambda_1,\ldots,\lambda_h], \lambda_i\in L\\
\Longrightarrow L/t\text{ algebraisch (siehe \cite[Theorem 7.15]{KunzAlgebra})}
\end{align*}
\end{bemerkung}
\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{Hilbertscher Nullstellensatz}]\nlvm
\begin{enumerate}
\item $\Ifunc(\Vfunc(I))=\sqrt{I}$:
\begin{description}
\item [$\supseteq$:]
Es sei $f\in \sqrt{I}, \\
$d.h. es gibt ein $m$, so dass $f^m\in I$\\
$\Longrightarrow \forall{\overline{r}\in \Vfunc(I)}: f^m(\overline{r})=0$\\
$\Longrightarrow f(\overline{r})=0$\\
$\Longrightarrow f\in \Ifunc(\Vfunc(I))$.
\item [$\subseteq$:]
Angenommen, es gibt ein $f\in\Ifunc(\Vfunc(I))\backslash\sqrt{I}$, dann ist $f^m\nin I$ f{\"u}r alle $m$.\\
Wir betrachten den Polynomring $k[\overline{x},y]$ und das Ideal $J:=\langle I,1-yf\rangle$. $J\subsetneq k[\overline{x},y]$, da $1,y,f\nin I$ und damit $f\nin J$.\\
Es sei $(\overline{r},y)\in\Vfunc(J)$ ein beliebiges Element.\\
$\Longrightarrow g(\overline{r})=0$ f{\"u}r alle $g\in I$.\\
Da $1-yf\in J$ ist, folgt $1-yf(\overline{r})=0$ Widerspruch zu $f(\overline{r})=0$, da $f\in\Ifunc(\Vfunc(I))$ ist!\\
Also ist $\Vfunc(J)=\emptyset$.\\
Daraus folgt mit (ii), dass $J=k[\overline{x},y]$, was ein Widerspruch zu $J\subsetneq k[\overline{x},y]$ ist.
\end{description}
\item $\Vfunc(I)=\emptyset\Longleftrightarrow I=k[\overline{x}]$:
\begin{description}
\item[\anf{$\Longleftarrow$}]
ist klar, da $1\in k[\overline{x}]$ gilt.
\item[\anf{$\Longrightarrow$}]
Es sei dazu $S:=k[\overline{x}]\text{ und } I\subsetneq S$.\\
Die Menge
$$X:=\left\{J\subsetneq S\;|\;J \text{ ist ein Ideal und } J\supseteq I\right\}\neq \emptyset$$
ist halbgeordnet durch Inklusion. Somit haben alle geordneten Ketten von Idealen aus $X$ ein Supremum nach dem Lemma von Zorn.
Es existiert also ein maximales Element $M$ in $X$.\\
Dieses $M$ ist ein maximales Ideal, und damit ist $S/M$ ein K{\"o}rper,
%in den man mittels $\lambda  \mapsto\overline{\lambda}$ (Restklassenabbildung) den K{\"o}rper $k$ einbetten kann, d.h.
der, wie man Mithilfe der Restklassenabbildung sieht, den K{\"o}rper $k$ enth{\"a}lt.
$$k\hookrightarrow S/M=k[\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}].$$
F{\"u}r $S/M$ kann man auch $k[\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}]$ schreiben, f{\"u}r $\overline{x_i}=x_i mod M$.\\
$\overset{\text{Bemerkung \ref{Bemerkung aus der Algebra HNS}}}{\Longrightarrow}$ S/M ist algebraisch {\"u}ber $k$, d.h. es existiert eine Einbettung
$$j:S/M\hookrightarrow k\text{ mit }k\hookrightarrow S/M\overset{j}{\hookrightarrow} k\text{, also ist $j$ ein Isomorphismus}.$$
%$$j:S/M\hookrightarrow \overline{k}\text{ mit }k\hookrightarrow S/M\overset{j}{\hookrightarrow} \overline{k}.$$
Es sei $f=\sum\alpha_i {x_1}^{v_1}\cdots {x_n}^{v_n}\in S$.\\
Daraus ergibt sich
$$j(\overline{f})=\sum \alpha_i j(\overline{x_1})^{v_1}\cdots j(\overline{x_n})^{v_n}=f(j(\overline{x_1}),\ldots,j(\overline{x_n}))$$
und somit gilt f{\"u}r alle $f\in M$, dass
$$f(j(\overline{x_1}),\ldots,j(\overline{x_n}))=0\text{ ist, da }j(\overline{f})=0.$$\\
Also liegt $(j(\overline{x_1}),\ldots,j(\overline{x_n}))$ in der Variet{\"a}t von $M$,
%d.h. $(j(\overline{x_1}),\ldots,j(\overline{x_n}))\in \Vfunc(M)$,
da f{\"u}r alle $f\in M$ die Behauptung $\overline{f}=0$ gilt.\\
Damit ist $\emptyset\neq\Vfunc(M)\subseteq\Vfunc(I)$; dies ist ein  Widerspruch zu $\Vfunc(I)=\emptyset$.
\end{description}
\end{enumerate}
\end{proof}
%\begin{bemerkung}
%Die Formulierung (i) und (ii) des Hilbertschen Nullstellensatzes sind {\"a}quivalent, wie man im Beweis von Satz \ref{Hilbertscher Nullstellensatz} gesehen hat.
%\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}\label{bemerkung I-V}
Wie wir dargelegt haben, stehen die Ideale und Variet{\"a}ten in Zusammenhang. Aus diesem Zusammenhang kann man leicht ableiten, dass
\begin{align}\label{Zusammenhang Verschwindungsideal und Varietaet}
V_1\subset V_2 \Rightarrow \Ifunc(V_2)\subset \Ifunc(V_1)\\
I_1\subset I_2 \Rightarrow \Vfunc(I_2)\subseteq \Vfunc(I_1).
\end{align}
\end{bemerkung}

\begin{satz}[Radical Membership]\label{Radical Membership}
Es sei $k$ ein K{\"o}rper und $I=\langle f_1,...,f_s\rangle\subset k[\overline{x}]$ ein Ideal.
Dann ist $f\in\sqrt{I}$ genau dann, wenn das konstante Polynom $1$ in $J=\langle f_1,...,f_s,1-yf\rangle\subset k[\overline{x},y]$ enthalten ist.
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
\begin{description}
\item[\anf{$\Longleftarrow$}]
Es sei $\overline{x}\in\Vfunc(I)\subseteq k^n$ und $1\in J$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz resultiert hieraus, $\Vfunc(J)=\emptyset$.\\
Nun unterscheiden wir zwei F{\"a}lle:
\begin{description}
\item [1. Fall $f(\overline{x})=0$:]
In diesem Fall ist $\Vfunc(I)\subseteq\Vfunc(f)$.\\
{\"A}quivalent dazu ist die Aussage $\Ifunc(\Vfunc(f))\subseteq\Ifunc(\Vfunc(I))$\\
und hieraus folgt mit dem Hilbertschen Nullstellensatz $f\in\sqrt{I}$.

\item[2. Fall $f(\overline{x})\neq 0$:]
Setzen wir hier $y=f(\overline{x})^{-1}$,\\
dann k{\"o}nnen wir folgern, dass $(\overline{x},y)\in\Vfunc(J)$, da $1-yf\in J$ und $1-yf=0$ gilt.\\
Das ist ein Widerspruch zu $V(J)=\emptyset$.\\
\end{description}
Jetzt haben wir gezeigt, dass $f\in\sqrt{I}$.

%\begin{description}
%\item[1. Fall] $f(\overline{x})=0$\\ $\Vfunc(I)\subseteq\Vfunc(f)\Longrightarrow f\in\sqrt{I}$
%\item[2. Fall] $f(\overline{x})\neq 0$\\
%Sei $y=-f(\overline{x})^{-1}$\\
%dann ist $(\overline{x},y)\in\Vfunc(J)$\\
%Widerspruch zu $\Vfunc(J)=\emptyset$
%\end{description}
\item[\anf{$\Longrightarrow$}]
Es sei nun $f\in\sqrt{I}$. \\
Dann existiert ein $m\in\nmenge$ mit $f^m\in I\subseteq J$.\\
Au{\ss}erdem ist $1-yf\in J$. Daraus folgt:
$$y^mf^m+(1-yf)(1+yf+\ldots+y^{m-1}f^{m-1})\in J$$
und auch $$y^mf^m+(1-y^mf^m)=1\in J.$$
\end{description}
\end{proof}

\begin{satz}
Jede aufsteigende Kette von Variet{\"a}ten
\begin{equation*}
V_1\supset V_2\supset V_3\supset \cdots
\end{equation*}
in $\rmenge[\overline{x}]$ wird stabil, d.h. es gibt eine
nat{\"u}rliche Zahl $N\geq 1$, so dass
\begin{equation*}
V_N=V_{N+1}=V_{N+2}=\cdots
\end{equation*}
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Betrachten wir die korrespondierenden Verschwindungsideale zu den $V_i$. F{\"u}r sie gilt mit Bemerkung \ref{bemerkung I-V}:
\begin{equation*}
\Ifunc(V_1)\subset\Ifunc(V_2)\subset\Ifunc(V_3)\subset\cdots
\end{equation*}
Da $\rmenge[\overline{x}]$ ein Noetherscher Ring ist, finden wir ein $N$ (nach Satz \ref{Satz Noetersche Kette}), so dass $\Ifunc(V_N)=\Ifunc(V_{N+1})=\Ifunc(V_{N+2})=\cdots$.
Da f{\"u}r jede Variet{\"a}t $V$ gilt $\Vfunc(\Ifunc(V))=V$, folgern wir: $V_N=V_{N+1}=V_{N+2}=\cdots$.
\end{proof}

\begin{satz}\label{irreduzibel - primideal}
Es sei $V$ eine Variet{\"a}t. Dann gilt:\\ $$\Ifunc(V)\text{ Primideal }\Longleftrightarrow V\text{ irreduzibel.}$$
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Der Beweis steht in \cite[Kapitel 1.1 Korollar 1.4]{Hartshorne00}
\end{proof}

\begin{satz}
Es sei $f\in\rmengex$. Dann ist $\Ifunc(\Vfunc(f))$ ein Hauptideal.
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gilt
\begin{equation*}
\Ifunc(\Vfunc(f))=\sqrt{\langle f\rangle }.
\end{equation*}
Da $\rmengex$ ein faktorieller Ring ist, gibt es irreduzible,
paarweise verschiedene \\ $a_1,\ldots,a_t\in\rmengex$,
so dass sich $f=a_1^{p_1}\cdots a_t^{p_t}$ f{\"u}r gewisse $p_1,\ldots,p_t\in\nmenge$ ergibt.
Im folgenden wird gezeigt:
\begin{equation*}
\langle a_1\cdots a_t\rangle =\sqrt{\langle f\rangle }.
\end{equation*}
Es sei $g\in\sqrt{\langle f\rangle }$ beliebig
\begin{eqnarray*}
&\Rightarrow& \exists{n\in\nmenge}:\; g^n\in\langle f\rangle \\
&\Rightarrow& \exists{k\in\rmengex}:\; g^n=k\cdot f \\
&\Rightarrow& \forall{1\leq a_i\leq t}:\; a_i|g^n \\
&\Rightarrow& \forall{1\leq a_i\leq t}:\; a_i|g \\
&\Rightarrow& g\in\langle a_1\cdots a_t\rangle  \\
&\Rightarrow& \sqrt{\langle f\rangle}\subseteq\langle a_1\cdots a_t\rangle\\
\end{eqnarray*}
Es bleibt die Aussage $a_1\cdots a_t \in\sqrt{\langle f\rangle }$ zu zeigen. Dazu definiert man
$p_{max}:=\max(p_1,\ldots,p_t)$.
Dann gilt:
\begin{eqnarray*}
&& f|(a_1\cdots a_t)^{p_{max}}\\
&\Rightarrow& (a_1\cdots a_t)^{p_{max}}\in \langle f\rangle \\
&\Rightarrow& a_1\cdots a_t\in \sqrt{\langle f\rangle }\\
\end{eqnarray*}
Zusammen mit den vorhergehenden {\"U}berlegungen ergibt sich nun:
\begin{equation*}
\langle a_1\cdots a_t\rangle =\sqrt{\langle f\rangle }.
\end{equation*}
Somit ist $\sqrt{\langle f\rangle }$ ein Hauptideal; mit dem Hilbertschen Nullstellensatz ist dann auch $\Ifunc(\Vfunc(f))$ ein Hauptideal.
\end{proof}
\end{section}

\begin{bemerkung}[Zusammenfassung Algebra und Geometrie]
\begin{tabular}{ccc}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  Algebra && Geometrie \\
  \hline
  Radikalideal && Variet{\"a}t \\
  $I$ & $\longrightarrow$ & $\Vfunc(I)$ \\
  $\Ifunc(V)$ & $\longleftarrow$ & $V$ \\
  \hline
  Addition von Idealen && Schnitt von Variet{\"a}ten \\
  $I+J$ & $\longrightarrow$ & $\Vfunc(I)\cap\Vfunc(J)$ \\
  $\sqrt{\Ifunc(V)+\Ifunc(W)}$ & $\longleftarrow$ & $V\cap W$ \\
%  \hline
%  Produkt von Idealen &&  Vereinigung von Variet{\"a}ten\\
%  $IJ$ & $\longrightarrow$ & $\Vfunc(I)\cup \Vfunc(J)$ \\
%  $\sqrt{\Ifunc(V)\Ifunc(W)}$ & $\longleftarrow$ & $V\cup W$ \\
  \hline
  Schnitt von Idealen &&  Vereinigung von Variet{\"a}ten\\
  $I\cap J$ & $\longrightarrow$ & $\Vfunc(I)\cup \Vfunc(J)$ \\
  $\Ifunc(V)\cap\Ifunc(W)$ & $\longleftarrow$ & $V\cup W$ \\
  \hline
  Primideal & & irreduzible Variet{\"a}t \\
  \hline
\end{tabular}
\end{bemerkung}



\begin{section}{\gbn}
Wir arbeiten hier mit der Standardnotation f{\"u}r Multiindizes $x^\alpha ={x_1}^{\alpha_1}\cdots {x_n}^{\alpha_n}$, wobei
$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\nmenge^n$\;.
Au{\ss}erdem setzen wir f{\"u}r alle Ordnungen die Reihenfolge der Variablen auf $x>y>z$ und $x_1>\cdots>x_n$ fest.
Erst diese Festsetzung zusammen mit einer Monomordnung legt eine eindeutige Ordnung fest.
Oft kann man durch die Reihenfolge der Variablen die Rechenzeit erheblich beeinflussen, bzw. je nach Fragestellung ist eine bestimmte Reihenfolge w{\"u}nschenswert.
Im Folgenden spielt die Reihenfolge keine Rolle.

\begin{definition}[Monomordnung]
Eine Relation $\succ$ auf $\;\nmenge^n$ ist eine Monomordnung auf $k[\overline{x}]$, wenn:
\begin{enumerate}
\item $\succ$ eine Totalordnung auf $\;\nmenge^n$ ist und
\item aus $\alpha,\beta,\gamma\in \nmenge^n$ mit $\alpha\succ\beta$ folgt $\alpha+\gamma\succ\beta+\gamma$.
\item $\succ$ ist eine Wohlordnung auf $\nmenge^n$, d.h. jede Teilmenge von $\nmenge^n$ hat ein kleinstes  Element unter $\succ$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
Es sei $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ und $\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_n)\in\nmenge^n$.
F{\"u}r die Berechnung von {\gbn} sind die Monomordnungen (i) bis (iii) von Bedeutung, (iv) ist die von \ma\ in der TraditionalForm benutzte Monomordnung.
\begin{enumerate}
\item Lexikographische Ordnung ($\succ_{lex}$)
\begin{align*}
\alpha\succ_{lex}\beta :\Leftrightarrow& \text{In der Vektordifferenz }\alpha-\beta\in\zmenge^n\text{ ist der erste Eintrag, ungleich null,}\\&{ positiv}.
\end{align*}
\item Graded lexikographische Ordnung ($\succ_{grlex}$)
\begin{equation*}
\alpha\succ_{grlex}\beta :\Leftrightarrow \sum_{i=0}^n\alpha_i=\abs{\alpha}>\abs{\beta}=\sum_{i=0}^n\beta_i \mbox{, oder } \abs{\alpha}=\abs{\beta} \mbox{ und } \alpha\succ_{lex}\beta
\end{equation*}
\item Graded inverslexikographische Ordnung ($\succ_{grevlex}$)
\begin{equation*}
\alpha\succ_{grevlex}\beta :\Leftrightarrow \sum_{i=0}^n\alpha_i=\abs{\alpha}>\abs{\beta}=\sum_{i=0}^n\beta_i \mbox{, oder } \abs{\alpha}=\abs{\beta} \mbox{ und } \beta\succ_{lex}\alpha
\end{equation*}

\item \ma\ Ordnung in TraditionalForm ($\succ_{mata}$)
\begin{equation*}
\alpha\succ_{mata}\beta :\Leftrightarrow \max_{i=0,\ldots,n}\alpha_i=\alpha_{max}>\beta_{max}=\max_{i=0,\ldots,n}\beta_i \mbox{, oder } \alpha_{max}=\beta_{max} \mbox{ und } \alpha\succ_{lex}\beta
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
Wir ordnen jetzt ein Polynom $f$ nach den verschiedenen Monomordnungen an, d.h. wir reihen die einzelnen Terme der Gr{\"o}{\ss}e nach auf.
%wir nehmen die einzelnen Terme des Polynoms und ordnen sie an, den gr{\"o}{\ss}ten zuerst, dann den zweitgr{\"o}{\ss}ten und so weiter.
Es sei $f=6xyz+3xz^2-5y^4+7x^2z^2\in k[x,y,z]$. Dann ergeben sich f{\"u}r $f$ folgende Termanordnungen:
\begin{enumerate}
\item $\succ_{lex}: f=7x^2z^2+6xyz+3xz^2-5y^4$
\item $\succ_{grlex}: f=7x^2z^2-5y^4+6xyz+3xz^2$
\item $\succ_{grevlex}: f=-5y^4+7x^2z^2+3xz^2+6xyz$
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}
Es sei $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in k[\overline{x}] \backslash \{0\}$. Dann definieren wir bez{\"u}glich einer Monomordnung:
\begin{enumerate}
\item Multigrad von f
\begin{equation*}
mdeg(f):=\max\left\{\alpha\in\nmenge^n|c_\alpha\neq0\right\}
\end{equation*}
\item Leitkoeffizient von f
\begin{equation*}
\LC(f):=c_{mdeg(f)}\in k
\end{equation*}
\item Leitmonom von f
\begin{equation*}
\LM(f):=x^{mdeg(f)}
\end{equation*}
\item Leitterm von f
\begin{equation*}
\LT(f):=\LC(f)\cdot \LM(f)
\end{equation*}
\end{enumerate}
Die Funktion $\LT$ l{\"a}sst sich auch auf Mengen anwenden. Sei G eine Menge
$$\LT(G):=\{\LT(x)|x\in G\}$$
\end{definition}

\begin{definition}[\gbn]
Es sei $I\subseteq k[\overline{x}]\backslash\{0\}$ ein Ideal. F{\"u}r eine fest gew{\"a}hlte Monomordnung hei{\ss}t eine endliche Menge $G\subset I$
eine \indexbf{Gr{\"o}bnerbasis} von I, wenn $\langle \LT(G)\rangle=\langle \LT(I)\rangle$ gilt.
\end{definition}

\begin{beispiel}[\gbn]$ $
\begin{enumerate}
\item Betrachten wir das Ideal $I=\langle g_1,g_2\rangle=\langle x-z,y-z\rangle\subset\rmenge[x,y,z]$. Als erstes {\"u}berpr{\"u}fen wir, ob es sich bei den Erzeugenden bereits um eine {\gb} handelt,
d.h. $\langle\LT (I)\rangle=\langle\LT (g_1),\LT (g_2)\rangle$. Es ist $\LT (g_1)=x$ und $\LT(g_2)=y$ und damit $\langle\LT(g_1),\LT(g_2)\rangle=\langle x,y\rangle$.
Jetzt bestimmen wir die $\LT$ von $I$, dazu schreiben wir $I$ in folgender Form:
\begin{align*}\label{Beispiel \gb}
I&=\left\{\left. k_1\cdot g_1+k_2\cdot g_2 \right|k_1,k_2\in\rmenge[x,y,z]\right\}\\
&=\left\{\left. k_1\cdot(x-z)+k_2\cdot (y-z) \right|k_1,k_2\in\rmenge[x,y,z]\right\}\\
\Longrightarrow\LT (I)&=\left\{\left. \LT(k_1\cdot(x-z)+k_2\cdot (y-z)) \right|k_1,k_2\in\rmenge[x,y,z]\right\}\\
&=\left\{\left. \LT(k_1\cdot\LT(x-z)+k_2\cdot \LT(y-z)) \right|k_1,k_2\in\rmenge[x,y,z]\right\}\\
&=\left\{\left. \LT(k_1\cdot x+k_2\cdot y) \right|k_1,k_2\in\rmenge[x,y,z]\right\}\\
%&=\left\{\left. k_1\cdot x \right|k_1\in\rmenge[x,y,z]\right\}\cup \left\{\left. k_2\cdot y \right|k_2\in\rmenge[x,y,z]\right\}.\\
\intertext{Bestimmen wir nun das Ideal, das von dieser Menge erzeugt wird:}
\langle\LT(I)\rangle&=\left\{\left. \LT(k_1\cdot x+k_2\cdot y) \right|k_1,k_2\in\rmenge[x,y,z]\right\}=\langle x,y\rangle.
\end{align*}
Damit ist $\langle\LT (I)\rangle=\langle\LT (g_1),\LT (g_2)\rangle$, das bedeutet, $I=\langle x-z,y-z\rangle$ ist eine \gb.
\item Ein weiteres Beispiel: $M=\langle x,1-xy\rangle$\\
Wir zeigen, das die \gb\ von dieser Menge ${1}$ ist. Da $x\in M$ ist, gilt auch $xy\in M$. Und auch alle Summen von Elementen aus $M$ sind wieder in $M$,
also ist $(1-xy)+xy=1\in M$.

Hier begegnen wir zum ersten mal einem \textit{Mathematicausdruck}.
Wir merken uns, dass Code aus \ma\ immer ein \texttt{In[]}, f{\"u}r Eingaben in \ma, oder \texttt{Out[]}, f{\"u}r Ausgaben, vorangestellt ist.

\dispTFinmath{
\Mfunction{GroebnerBasis}[\{x,1-x\multsp y\},\{x,y\}]
}

\dispTFoutmath{
\{1\}
}
Das bedeutet, $M=\rmenge[x,y]$, da $1$ ein Element des Ideals ist.
\item Betrachten wir nun noch ein etwas komplizierteres Beispiel:
\begin{equation}
M=\langle y-x^5,z-x^2,z^2+y^2+x^3\rangle.\label{komplizierte \gb}
\end{equation}
Dabei benutzen wir verschiedene Monomordnungen zur Berechnung der {\gbn}.
\dispTFinmath{
\Mfunction{GroebnerBasis}[M,\{x,y,z\},\Mvariable{MonomialOrder}\rightarrow \Mvariable{Lexicographic}]
}

\dispTFoutmath{
\big\{-{z^9}-2\multsp {z^6}-{z^3}+{z^2},-{z^6}-{z^3}-y,-{z^5}-{z^2}-x\multsp z,z-{x^2}\big\}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{GroebnerBasis}[M,\{x,y,z\},  \\
\noalign{\vspace{0.666667ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{MonomialOrder}\rightarrow \Mvariable{DegreeLexicographic}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\big\{-{y^2}-{z^2}-x\multsp z,z-{x^2},{z^3}-x\multsp y,-z\multsp {y^2}-x\multsp y-y,  \\
\noalign{\vspace{0.604167ex}}
\hspace{1.em} x\multsp {y^2}+y+{z^2},-{y^4}-{y^3}-{z^2}\multsp y+x\multsp y+2\multsp z\multsp y\big\}\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{GroebnerBasis}[M,\{x,y,z\},  \\
\noalign{\vspace{0.666667ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{MonomialOrder}\rightarrow \Mvariable{DegreeReverseLexicographic}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\big\{-{y^2}-{z^2}-x\multsp z,z-{x^2},x\multsp y-{z^3},y-x\multsp {z^2}\big\}
}

Hierbei sieht man, dass eine {\gb} nicht eindeutig, sondern abh{\"a}ngig von der Monomordnung, ist, weil die $\LT$ abh{\"a}ngig von der Monomordnung sind.
In den meisten bekannten Beispielen ist die {\gb} mit der Monomordnung DegreeReverseLexicographic die kleinste und am schnellsten zu berechnende.
\item Nun betrachten wir noch ein Beispiel mit Koeffizienten aus den rationalen Funktionen $\rmenge(a,b)[x,y]$. Es sei $M=\langle x+\left(b+\frac{1}{a}\right)y,y^2+\frac{z}{a}\rangle$
\dispTFinmath{
\MathBegin{MathArray}{l}
\Mfunction{GroebnerBasis}[M,\{x,y,z\},  \\
\noalign{\vspace{0.666667ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{MonomialOrder}\rightarrow \Mvariable{DegreeReverseLexicographic},  \\
\noalign{\vspace{0.666667ex}}
\hspace{1.em} \Mvariable{CoefficientDomain}\rightarrow \Mvariable{RationalFunctions}]\\
\MathEnd{MathArray}
}

\dispTFoutmath{
\big\{x+\Big(b+\frac{1}{a}\Big)\multsp y,{y^2}+\frac{z}{a}\big\}
}
\end{enumerate}
\end{beispiel}

F{\"u}r zwei Polynome $f,g\in k[x]$ mit $g\neq 0$ kann man mit dem Divisionsalgorithmus f{\"u}r Polynome in einer Variablen Polynome $q,r\in k[x]$ bestimmen,
so dass $f=qg+r$ gilt und $deg(r)<deg(g)$. Diese Darstellung ist eindeutig, siehe \cite[Seite 37-39]{Cox96}.
Der Algorithmus l{\"a}sst sich einsetzen, um das \anf{Ideal-Membership-Problem} zu l{\"o}sen. Die Frage dabei ist,
ob ein vorgegebenes Polynom $f$ in einem Ideal $I\subset k[x]$ enthalten ist.
$k[x]$ ist ein Hauptidealring (Satz \ref{k[x] ist Hauptidealring}), daher gibt es ein $g\in k[x]$, so dass $\langle g\rangle=I$.
Das Polynom $f$ ist genau dann Element von $I$, wenn der Rest $r$ des Divisionsalgorithmus verschwindet, genauer $f=qg+r$ mit verschwindendem $r$.

Jetzt wollen wir dasselbe mit Polynomen in mehreren Variablen durchf{\"u}hren. Betrachten wir also ein Polynom $f\in k[\overline{x}]$ und ein Ideal $I\subset k[\overline{x}]$.
Leider ist $k[\overline{x}]$ kein Hauptidealring, das bedeutet, dass unser Ideal im allgemeinen von mehreren Polynomen erzeugt wird. Es seien nun $q_1,\ldots,q_m$ die Polynome, die $I$ erzeugen.
Dann k{\"o}nnen wir $f$ mit diesen Erzeugern in der Form
\begin{equation}
f=q_1f_1+\ldots+q_mf_m+r\label{VorDivisionsalgo}
\end{equation} mit $q_1,\ldots,q_m\in k[x_1,\ldots,x_m]$ darstellen. Gibt es eine derartige Darstellung, in der $r$ verschwindet, ist $f$ in $I$ enthalten.

Der folgende Algorithmus liefert uns eine Zerlegung wie in Gleichung \eqref{VorDivisionsalgo}.

\Algo
{Divisionsalgorithmus}
{Divisionsalgorithmus f{\"u}r Polynome in mehreren Variablen}
{Polynome $f,f_1,\ldots,f_m\in k[\overline{x}]$ und eine Monomordnung}
{$q_1,\ldots,q_m,r\in k[\overline{x}]$, so dass $f=q_1f_1+\ldots+q_mf_m+r$ gilt
und kein Monom von r durch einen Leitterm $\LT(f_1),\ldots,\LT(f_m)$ teilbar ist.}
{
%\begin{enumerate}
\item[1] Setze alle $q_i$ und $r$ auf null und weise $p$ das Polynom $f$ zu.
\item[2] W{\"a}hrend $p\neq 0$ wiederhole:
\item[3] Wenn es ein $i$ gibt, so dass $\LT(f_i)|\LT(p)$,\\
            w{\"a}hle solch ein $i$ und setze $q_i:=q_i+\frac{\LT(p)}{\LT(f_i)}$ und $p:=p-\frac{\LT(p)}{\LT(f_i)}f_i$,\\
            ansonsten setze $r:=r+\LT(p)$ und $p:=p-\LT(p)$.
\item[4] Ausgabe von $q_1,\ldots,q_m,r$.
%\end{enumerate}
}
Es ist nat{\"u}rlich etwas gewagt, hier von einem Algorithmus zu sprechen,
wo doch in Schritt $3$ keine explizite Wahl des $i$ vorgenommen wird und wir bei unterschiedlicher Auswahl auch verschiedene Ergebnisse erhalten k{\"o}nnen.
Aber wir k{\"o}nnen dies beheben, indem wir immer das kleinste $i$ w{\"a}hlen; dann liefert uns der Algorithmus eine eindeutige Zerlegung.

\begin{satz}[Ideal Membership]\label{Ideal Membership}
Mittels {\gbn} kann man {\"u}berpr{\"u}fen, ob ein Polynom $f\in\rmenge[\overline{x}]$ in einem Ideal $I$ enthalten ist. Es sei $G=\{g_1,\ldots,g_n\}$ eine {\gb} von $I$.
%Dann berechnen wir $a_1,\ldots,a_n$ und $r$, so dass gilt:
\begin{enumerate}
\item Mit dem Divisionsalgorithmus f{\"u}r Polynome in mehreren Variablen ergibt sich:
\begin{equation*}
f=a_1g_1+\ldots+a_ng_n+r.
\end{equation*}
\item Kein Term von $r$ ist durch einen $\LT(g_i)$ teilbar.
\end{enumerate}
Dann gilt: $$f\in I \Longleftrightarrow r\text{ verschwindet.}$$
\end{satz}


\begin{definition}[Algebraisch unabh{\"a}ngig]\label{Algebraisch unabhaengig}
Es sei $V$ eine irreduzible Variet{\"a}t im $\rmenge^{m+n}$ mit Koordinaten $u_1,\ldots,u_m,\overline{x}$.
Wir definieren $\overline{u}=u_1,\ldots,u_m$ als {\bf algebraisch unabh{\"a}ngig} auf $V$, wenn kein nichttriviales Polynom in den $u_i$ identisch verschwindet:
\begin{equation*}
\sum_{\alpha\in\nmenge^m} k_\alpha\overline{u}^\alpha\nequiv 0 \text{ f{\"u}r alle } (\overline{u},\overline{x})\in V
\text{ mit }k_i\in \rmenge,
\end{equation*}
d.h. kein Polynom, das die Variet{\"a}t erzeugt, ist aus $\rmenge[u_1,\ldots,u_n]$.
\end{definition}

\begin{definition}[Folgt strikt]
Es seien $g,h_1,\ldots,h_n \in \rmenge[\overline{u},\overline{x}]$.
Die Folgerung $g\;$ \textbf{folgt strikt} aus $h_1,\ldots,h_n$, wenn $g\in\Ifunc(\Vfunc(h_1,\ldots,h_n))$.
\end{definition}

\begin{satz}
Wenn $g\in\sqrt{\langle h_1,\ldots,h_r\rangle}$, dann folgt $g$ strikt aus $h_1,\ldots,h_r$.
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Es sei $g\in\sqrt{\langle h_1,\ldots,h_r\rangle}$,
dann gibt es ein $s$, so dass $g^s\in\langle h_1,\ldots,h_r\rangle$.\\
Daher gilt $g^s=\sum_{i=1}^r A_i h_i$ mit $A_i\in\rmenge[u_1,\ldots,u_m,\overline{x}]$.\\
Das bedeutet, $g^s$ verschwindet, wenn $h_1,\ldots,h_r$ verschwinden.
Damit verschwindet auch $g$, was gleichbedeutend ist mit $g\in\Ifunc(\Vfunc(h_1,\ldots,h_n))$.
\end{proof}

\begin{definition}[Generalisierte Folgerung]
Die Folgerung $g$ \indexbf{folgt generalisiert} aus den Voraussetzungen $h_1,\ldots,h_n$, wenn $g\in\Ifunc(V')$ mit
\begin{equation}
V'=\bigcup_{\substack{
{j=1}\\
\overline{u}\text{ alg. unabh. auf } V_j
}}^k V_j,
\end{equation}
wobei $V=\Vfunc(h_1,\ldots,h_n)$ und $V=V_1\cup\ldots\cup V_k$ eine irreduzible Zerlegung.
\end{definition}

\begin{satz}[Generalisierte Folgerung]\label{Satz zur generalisierten Folgerung}
Es sei $H=I(h_1,\ldots,h_n)$. Wenn es ein nichtverschwindendes Polynom $c(u_1,\ldots,u_m)\in\rmenge[u_1,\ldots,u_m]$ gibt, so dass
\begin{equation}\label{Satz zur generalisierten Folgerung:Gleichung}
c\cdot g\in\sqrt{H},
\end{equation}
dann folgt $g$ generalisiert aus $h_1,\ldots,h_n$.
\end{satz}
\begin{proof}\nlvm
Es seien $c\cdot g\in\sqrt{H}$, $V=\Vfunc(h_1,\ldots,h_n)$ mit einer Zerlegung wie in Gleichung \eqref{Zerlegung von V} und
\begin{equation*}
V'=\bigcup_{\substack{
{j=1}\\
\overline{u}\text{ alg. unabh. auf } V_j,
}}^k V_j.
\end{equation*}
dann wissen wir, dass $c\cdot g$ auf $V$ verschwindet und damit nat{\"u}rlich auch auf $V_j$,
d.h. $\Vfunc(c\cdot g)\supset V_j$ und daraus folgt $c\cdot g\in\Ifunc(V_j)$. Da $V_j$ irreduzibel ist, gilt nach Satz \ref{irreduzibel - primideal},
dass $\Ifunc(V_j)$ ein Primideal ist. Daraus folgt dann: $c$ oder $g$ ist in $\Ifunc(V_j)$.
Da $V_j$ algebraisch unabh{\"a}ngig von $\overline{u}$ ist, wissen wir, dass $c\nin\Ifunc(V_j)$; daher ist $g\in\Ifunc(V_j)$ f{\"u}r alle $V_j$. Dann gilt $g\in\Ifunc(V')$.
\end{proof}

\begin{korollar}[Generalisierte Folgerung]\label{Korollar zur generalisierten Folgerung}
Mit der Situation aus Satz \ref{Satz zur generalisierten Folgerung} sind die folgenden Aussagen {\"a}quivalent:
\begin{enumerate}
\item Es gibt ein nichtverschwindendes Polynom $c\in\rmenge[u_1,...,u_n]$, so dass $c\cdot g\in\sqrt{H}$.
%\item $g\in\sqrt{\widetilde{H}}$, wobei $\widetilde{H}$ das Ideal ist, welches erzeugt wird von $h_1,...,h_z$ in $\rmenge(u_1,...,u_m)[\overline{x}]$
\item $\{1\}$ ist die reduzierte {\gb} des Ideals
\begin{equation*}
\langle h_1,...,h_n,1-yg\rangle\subset\rmenge(u_1,...,u_m)[\overline{x},y].
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{proof}\nlvm
\begin{description}
\item[(i)$\Longrightarrow$(ii):]
Es sei $c\in\rmenge[u_1,\ldots,u_m]$.
Nach Satz \ref{Radical Membership} folgt aus  $c\cdot g\in\sqrt{I}$, dass $1\in\langle I,1-y(c\cdot g)\rangle$.
Da $c$ in $\rmenge(u_1,\ldots,u_m)[\overline{x},y]$ eine Einheit ist, gilt auch $1\in\langle I,1-yg\rangle$.
\item[(ii)$\Longrightarrow$(i):]
Es sei $c=1$, dann gilt die Aussage nach Satz \ref{Radical Membership}.
\end{description}
\end{proof}

\begin{bemerkung}
Beachte: Die \gb methode sagt uns nichts {\"u}ber die degenerierten F{\"a}lle. Diese Information ist in dem Polynom $c\in\rmenge[u_1,\ldots,u_m]$ von (i) enthalten.
Au{\ss}erdem funktioniert der Hilbertsche Nullstellensatz nur {\"u}ber algebraisch abgeschlossenen K{\"o}rpern, daher rechnen wir in Korollar \ref{Korollar zur generalisierten Folgerung}
in $V_{\cmenge}=\Vfunc(h_1,\ldots,h_n)\subset\cmenge^{m+n}$.
%Daher k{\"o}nnen wir nur geometrische S{\"a}tze {\"u}berpr{\"u}fen, deren Folgerung auch {\"u}ber $\cmenge$ generalisiert folgt.
%Uns interessiert aber nur was {\"u}ber $\rmenge$ passiert.
Wir k{\"o}nnen also nur S{\"a}tze beweisen, die {\"u}ber $\cmenge$ gelten, es gibt aber einige geometrische S{\"a}tze, die nur {\"u}ber $\rmenge$ gelten (siehe \cite{Sturmfels89}).
%Diese k{\"o}nnen wir mit dieser Methode nicht beweisen.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}[Anwendungen von \gbn]
Au{\ss}er in den bislang dargelegten F{\"a}llen k{\"o}nnen wir {\gbn} verwenden, um polynomiale Gleichungssysteme der Form
\begin{align*}
f_1(\overline{x})&=0\\
& \vdots\\
f_m(\overline{x})&=0
\end{align*}
zu l{\"o}sen. Man berechnet eine {\gb} mit $lex$-Ordnung. Diese {\gb} hat die w{\"u}nschenswerte Eigenschaft, eine Dreiecksform, {\"a}hnlich dem Gau{\ss}-Algorithmus, zu bilden,
d.h. in der letzten Gleichung gibt es nur eine Variable, in der vorletzten zwei und so weiter.
Daher kann man die L{\"o}sungen f{\"u}r die letzte Gleichung mit einem geeigneten Verfahren berechnen
und erh{\"a}lt Ergebnisse f{\"u}r die \anf{kleinste} Variable. Diese setzt man in die vorletzte Gleichung ein. Sukzessives Fortsetzen f{\"u}hrt zu L{\"o}sungen des Gleichungssystems.
Solch eine {\gb} haben wir bereits bei dem Beispiel \ref{komplizierte \gb} gesehen:
\begin{align*}
G&=\langle y-x^5,z-x^2,z^2+y^2+x^3\rangle\\
\intertext{und seine {\gb}}
GroebnerBasis[G]&=\{z - x^2,-z^5 - z^2 - x z, -z^6 - z^3 -y,-z^9-2z^6-z^3 + z^2\}.
\end{align*}
Die letzte Gleichung ist ein Polynom in $z$, die vorletzte in $z$ und $y$ und so weiter.
\end{bemerkung}
\newpage
\thispagestyle{empty}

\end{section}
\end{chapter}
