\begin{chapter}{Einleitung}



\underline{Version von September 2003. Bitte das Vorwort nicht korrigieren.}

Meine Diplomarbeit befasst sich mit dem automatischen Beweisen von
geometrischen S{\"a}tzen mittels Methoden der algebraischen Geometrie.
Dazu {\"u}berf{\"u}hre ich die Eigenschaften der geometrischen Objekte in
Verschwindungsideale. Dies geschieht, indem man zu den
Eigenschaften des geometrischen Objekts eine korrespondierende
Variet{\"a}t ermittelt, um dann ihr Verschwindungsideal zu erzeugen.
Um diese Beweise f{\"u}hren zu k{\"o}nnen, schreibe ich als erstes ein
Kapitel zu den Eigenschaften geometrischer Objekte. Dann eines
{\"u}ber die Grundlagen von Variet{\"a}ten und die {\"U}berf{\"u}hrung der
Eigenschaften von der Geometrie zu den Variet{\"a}ten. Damit habe ich
die Voraussetzungen, um Eigenschaften geometrischer Objekte in
Variet{\"a}ten zu {\"u}berf{\"u}hren, und danach das Verschwindungsideal zur
Variet{\"a}t zu berechnen, damit sind die geometrischen Eigenschaften
sind in algebraische {\"u}berf{\"u}hrt. Wenn wir nun eine ganze Menge
solcher Eigenschaften betrachten, aufgeteilt in Annahmen und eine
Folgerung daraus, z.B. den bekannten \glqq{}Satz des
Pythagoras\grqq{}: die Annahmen zu diesem Satz sind: Wir haben ein
rechtwinkliges Dreieck und die Seite des Dreiecks gegen{\"u}ber dem
rechten Winkel nennen wir Hypothenuse, die beiden anderen
Katheten. Dann gilt als Folgerung, die Summe der Kathedenquadrate
ist gleich dem Hypothenusenquadrat. Als n{\"a}chstes leiten wir aus
den Annahmen ein Verschwindungsideal her und nennen es $A$.
Dasselbe machen wir mit der Folgerung, daraus entsteht dann das
Hauptideal $F$ mit dem Erzeuger $f$. Um die Korrektheit des Satzes
zu beweisen m{\"u}ssen wir jetzt nur noch das algebraische Problem
l{\"o}sen: $f\in\sqrt{A}$. Hierzu verwenden wir die Gr{\"o}bnerbasen,
denen auch ein Grundlagenkapitel gewidmet ist.

Indem wir diese {\"U}bersetzung und anschliessende L{\"o}sung mit einem
Computeralgebrasystem automatisieren, haben wir einen
\glqq{}Automatischen Beweiser\grqq{} f{\"u}r S{\"a}tze der Ebenen
Geometrie. Diesen verwende ich im zweiten Teil der Arbeit um eine
Anzahl geometrischer S{\"a}tze aus dem Buch von Chou zu beweisen.
Dabei haben wir festgestellt, da{\ss} Geometrie, die nur mit Zirkel
und Lineal auskommt, d.h. es l{\"a}sst sich alles aus Polynomen
kleiner gleich zweiten Grades zusammensetzen, einfach zu beweisen
ist. Aber sobald Polynome h{\"o}heren Grades, wie bei der
Winkeldreiteilung, auftreten sind die Gr{\"o}bnerbasen oft nicht mehr
in aktzeptabler Zeit zu berechnen. Zum Abschluss ist festzuhalten,
das die meisten geometrischen S{\"a}tze mit diesem
\glqq{}Automatischen Beweiser\grqq{} gezeigt werden k{\"o}nnen. Bei
den Problemen die zurzeit nicht l{\"o}sbar sind, sollte man sich
zuerst an einer Vereinfachung auf geometrischer Seite versuchen,
dazu sp{\"a}ter mehr bei dem \glqq{}Satz von Morley\grqq{}. Eine
andere M{\"o}glichkeit w{\"a}re die Verbesserung des
Gr{\"o}bnerbasenalgorithmus, dies ist aber nicht Bestandteil dieser
Arbeit.

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