Napoleonpunkte

Satz des Napoleon:
Im Dreieck ABC wird über der Seite BC ein gleichseitiges Dreieck BA'C konstruiert. An den anderen beiden Dreiecksseiten werden die gleichseitigen Dreiecke CB'A und AC'B konstruiert. Die Dreiecke müssen entweder alle nach innen oder alle nach außen gerichtet sein. X, Y und Z sind die Schwerpunkte der gleichseitigen Dreiecke. Der Napoleonpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden AX, BY und CZ (nach Napoleon Bonaparte, 1769-1821).

Bemerkung:
Man spricht vom ersten Napoleonpunkt, wenn die Dreiecke nach außen gerichtet sind und vom zweiten, wenn sie nach innen gerichtet sind. Diese beiden Sätze beweisen wir gemeinsam. Dies geschieht durch unsere Vereinfachungen, A=(0,0) und B=(u_1,0) und die Konstruktionsmethode, die wir für gleichseitige Dreiecke wählen, nämlich die Drehung eines Seitenendpunktes um 60° um den anderen; dabei ist die richtige Reihenfolge der Punkte zu beachten (siehe unten). Dadurch erhalten wir den ersten Napoleonpunkte, wenn der Punkt C oberhalb der Geraden AB liegt, und den zweiten, wenn er unterhalb liegt.

Bemerkung 2:
Die Napoleonpunkte liegen ebenfalls auf der Eulergeraden.